「座標空間」について

　私立 甲南大学 2014年 第2問

座標空間に原点O，点A(5,1,0)，点B(2,3,0)があり，線分ABを1:2に内分する点をPとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)ベクトルベクトルOPを求めよ．
(2)点Pを通りz軸に平行な直線をとる．その直線上においてz座標が正となる点Qをとる．このとき，ベクトルAQ⊥ベクトルBQとなるような点Qを求めよ．
(3)(2)で求めた点Qに対して，四面体OABQの体積を求めよ．

　私立 甲南大学 2014年 第2問

座標空間に原点O，点A(5,1,0)，点B(2,3,0)があり，線分ABを1:2に内分する点をPとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)ベクトルベクトルOPを求めよ．
(2)点Pを通りz軸に平行な直線をとる．その直線上においてz座標が正となる点Qをとる．このとき，ベクトルAQ⊥ベクトルBQとなるような点Qを求めよ．
(3)(2)で求めた点Qに対して，四面体OABQの体積を求めよ．

　私立 南山大学 2014年 第2問

a＞0，b＞0，c＞0とする．原点をOとする座標空間に3点A(a,0,0)，B(0,b,0)，C(0,0,c)をとり，△ABCの重心をGとする．
(1)Gの座標をa,b,cで表せ．
(2)Gを通り，ベクトルOGと垂直な平面をαとし，αとx軸，y軸，z軸との交点をそれぞれP，Q，Rとする．P，Q，Rの座標をa,b,cで表せ．
(3)(2)のP，Q，Rについて，\vec・・・

　私立 早稲田大学 2014年 第3問

a,b,cは整数，nは0以上の整数とする．座標空間において，次の条件(i)，(ii)を満たす点(a,b,c)の個数をS(n)とする．
(i)a+b+c=0
(ii)|a|+|b|+|c|≦n
次の設問に答えよ．
(1)S(2)を求めよ．
(2)S(2n)を求めよ．

　私立 同志社大学 2014年 第2問

座標空間において原点O(0,0,0)と，3点A(a,a,b)，B(a,b,a)，C(b,a,a)(b＞a≧0)を頂点とする四面体OABCを考える．次の問いに答えよ．
(1)△ABCの面積Sを求めよ．
(2)四面体OABCの体積Vを求めよ．
(3)四面体OABCが正四面体となる条件を，aとbを用いて表せ．
(4)a,bがともに自然数のとき，(3)の条件を満たすbの最小値と，そのときのaの値をそれぞれ求めよ．また，そのときのSとVを求めよ．・・・

　私立 同志社大学 2014年 第2問

座標空間内の球面x2+y2+z2=9上に3点A(3,0,0)，B(2,1,2)，C(1,-2,2)をとる．次の問いに答えよ．
(1)△ABCの面積を求めよ．
(2)3点A，B，Cを通る平面に，原点Oから下ろした垂線の足Hの座標を求めよ．
(3)球面上を動く点Pを頂点とする四面体PABCを考え，その体積をVとする．Vの最大値と，そのときの点Pの座標を求めよ．

　私立 東京女子大学 2014年 第7問

座標空間内の2点A(1,-2,-1)，B(-5,-4,3)を通る直線をℓとおく．以下の設問に答えよ．
(1)ℓは点C(-2,-3,1)を通ることを示せ．
(2)Oを原点としてCとは異なるℓ上の点DがOD=OCをみたすとき，Dの座標を求めよ．

　私立 上智大学 2014年 第2問

座標空間の原点Oを通りベクトル(1,√3,2√3)に平行な直線をℓとし，点Aの座標を(√3+3,3√3+3,6-2√3)とする．このとき，Oを頂点とする円錐Cは，底面の中心Hがℓ上にあり，底面の円周がAを通るとする．
(1)∠AOH=\frac{[コ]}{[サ]}πである．ただし，0≦∠AOH＜πとする．
(2)Hの座標は
(\sqrt{[シ]},[ス],[セ])・・・

　公立 大阪市立大学 2014年 第2問

座標空間内に4点A(0,-1,0)，B(2,0,1)，C(0,t,-1)，D(u,2,1)がある．ただし，t,uは実数であり，ベクトルABとベクトルACは垂直であるとする．次の問いに答えよ．
(1)tの値を求めよ．
(2)ベクトルAB，ベクトルACの両方に垂直で大きさが1のベクトルベクトルn=(p,q,r)のうちp＞0となるものを求めよ．
(3)4点A，B，C，Dが同一平面に含まれるならばu=4であることを示せ．
(4)u=3のとき四面体ABCDの体・・・

　公立 大阪市立大学 2014年 第4問

座標空間内に4点A(0,-1,0)，B(2,t,1-t)，C(0,s,-1)，D(3,2,1)がある．ただし，tとsは実数でt＞-1をみたし，またベクトルABとベクトルACは垂直であるとする．次の問いに答えよ．
(1)sをtを用いて表せ．
(2)ベクトルAB，ベクトルACの両方に垂直で大きさが1のベクトルベクトルn=(p,q,r)のうちp＞0となるものをtを用いて表せ．
(3)4点A，B，C，Dが同一平面に含まれるための必要十分条件は，・・・