「微分」について

　公立 愛知県立大学 2015年 第4問

a＞1，b＞0，c＞0，f(t)=a^{-bt}とする．点Pの座標(x,y)が，時刻tの関数としてx=f(t)cost，y=f(t)sintのように表されるとき，以下の問いに答えよ．
(1)f(t)をtについて微分せよ．
(2)t=0からt=cまでの間に点Pが動く道のりlをa,b,cで表せ．
(3)(2)のlについて，L=\lim_{c→∞}lをa,bで表せ．
(4)t=0からt=dまでの間に点Pが動く道のりが，(3)で求めたLの1/2であるとする．a=2，b=5・・・

　国立 宮崎大学 2014年 第1問

次の各問に答えよ．ただし，eは自然対数の底を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
(i)y=\frac{cosx}{1-sinx}\qquad(ii)y=(x+2)\sqrt{x2+2x+5}
(2)次の定積分の値を求めよ．
(i)∫12\frac{ex+e^{-x}}{ex-e^{-x}}dx
(ii)∫0^{π/6}sin(3x)sin(5x)dx
(iii)∫01\frac{x3+3x2}{x2+3x+2}dx
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　国立 福島大学 2014年 第1問

次の問いに答えなさい．
(1)0≦θ＜2πのとき，次の方程式を解きなさい．
sinθ+√3cosθ=-1
(2)次の関数を微分しなさい．
y=log(x2+2x+1)
(3)次の不定積分を求めなさい．
∫\frac{2x2}{x3+1}dx
(4)2個のサイコロを同時に投げる．このとき，出た目の和が素数となる確率を求めなさい．

　国立 宮崎大学 2014年 第1問

次の各問に答えよ．ただし，eは自然対数の底を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
(i)y=\frac{cosx}{1-sinx}\qquad(ii)y=(x+2)\sqrt{x2+2x+5}
(2)次の定積分の値を求めよ．
(i)∫12\frac{ex+e^{-x}}{ex-e^{-x}}dx
(ii)∫0^{π/6}sin(3x)sin(5x)dx
(iii)∫01\frac{x3+3x2}{x2+3x+2}dx
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　公立 大阪府立大学 2014年 第4問

以下の問いに答えよ．
(1)関数f(x)=|x|がx=0において微分可能でないことを微分の定義に基づいて示せ．
(2)y=x|x|のグラフの概形を描け．
(3)mは自然数とする．関数g(x)=xm|x|がx=0において微分可能であるか微分可能でないかを理由をつけて答えよ．

　国立 茨城大学 2013年 第1問

以下の各問に答えよ．
(1)関数f(x)=loga(ax)を微分せよ．ただし，a＞0かつa≠1とする．
(2)関数g(x)=∫1^{x2+1}t2(t-1)5dtを微分せよ．
(3)定積分∫01\frac{1-x}{1+x}dxを求めよ．
(4)定積分∫1e\frac{log√x}{√x}dxを求めよ．ただし，対数は自然対数であり，eは自然対数の底である．

　国立 三重大学 2013年 第4問

eで自然対数の底を表す．関数f(x)を
f(x)=log(x+\sqrt{x2+e})
で定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)関数f(x)を微分せよ．またf´(x)が偶関数であることを示せ．
(2)定積分
∫_{-1}1f(x)cos(π/2x)dx
を求めよ．
(3)数列{an}を
an=∫_{-1}1x^{2n}f(x)cos(π/2x)dx(n=1,2,3,・・・)
で定める．nを2以上とするとき，anとa_{n-1}の間に成り立つ関係式を求めよ．

　国立 宮崎大学 2013年 第1問

次の各問に答えよ．ただし，logxはxの自然対数を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
(i)y=\frac{x}{ex}\qquad(ii)y=log(\frac{2+sinx}{2-sinx})
(2)次の定積分の値を求めよ．
(i)∫01\frac{2x2-x}{2x+1}dx
(ii)∫0^{\frac{\sqrt{π}}{2}}xcos(x2)dx
(iii)∫01x3log(x2+1)dx
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　国立 宮崎大学 2013年 第1問

次の各問に答えよ．ただし，logxはxの自然対数を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
(i)y=\frac{x}{ex}\qquad(ii)y=log(\frac{2+sinx}{2-sinx})
(2)次の定積分の値を求めよ．
(i)∫01\frac{2x2-x}{2x+1}dx
(ii)∫0^{\frac{\sqrt{π}}{2}}xcos(x2)dx
(iii)∫01x3log(x2+1)dx
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　私立 藤田保健衛生大学 2013年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)f(t)=be^{at}（a,b：定数）を微分した答えをf(t)を用いて表すと，
d/dtf(t)=[]\qquad・・・・・・①
である．
(2)物体が水平面に対し垂直な方向に落下するものとする．デカルトは時刻tでの物体の速度について，速度が落下距離に比例するものと考えた．これに従えば，時刻tでの物体の落下距離をf(t)とし，f(0)=x0＞0，その比例定数をc0＞0とするとき，①を満たすような関数がf(t)=be^{at}の形で表わされることを用いるとf(t)=[]・・・