「微分可能」について

　国立 群馬大学 2015年 第4問

すべての実数xにおいて，関数f(x)は微分可能で，その導関数f´(x)は連続とする．f(x)，f´(x)が等式
∫0x\sqrt{1+(f´(t))2}dt=-e^{-x}+f(x)
を満たすとき，以下の問いに答えよ．
(1)f(0)を求めよ．
(2)f´(0)を求めよ．
(3)f(x)を求めよ．
(4)∫01x\sqrt{1+(f´(x))2}dxを求めよ．

　国立 群馬大学 2015年 第5問

すべての実数xにおいて，関数f(x)は微分可能で，その導関数f´(x)は連続とする．f(x)，f´(x)が等式
∫0x\sqrt{1+(f´(t))2}dt=-e^{-x}+f(x)
を満たすとき，以下の問いに答えよ．
(1)f(0)を求めよ．
(2)f´(0)を求めよ．
(3)f(x)を求めよ．
(4)∫01x\sqrt{1+(f´(x))2}dxを求めよ．

　国立 群馬大学 2015年 第5問

すべての実数xにおいて，関数f(x)は微分可能で，その導関数f´(x)は連続とする．f(x)，f´(x)が等式
∫0x\sqrt{1+(f´(t))2}dt=-e^{-x}+f(x)
を満たすとき，以下の問いに答えよ．
(1)f(x)を求めよ．
(2)曲線y=f(x)と直線x=1，およびx軸，y軸で囲まれた部分を，y軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

　私立 北里大学 2015年 第3問

実数全体を定義域とする関数f(x)は奇関数で微分可能であるとする．さらに，f´(x)も微分可能でf´(0)=0を満たし，x＞0の範囲でf^{\prime\prime}(x)＞0であるとする．y=f(x)のグラフをC1，C1をx軸方向にa，y軸方向にf(a)だけ平行移動した曲線をC2とする．ただし，aは正の定数とする．
(1)f(0)の値を求めよ．
(2)f´(x)は偶関数であることを示せ．
(3)C1とC2の共有点の個数が2個であることを示し，その2点のx座標を求めよ．
(4)C1とC2で囲まれる図・・・

　私立 東京理科大学 2015年 第2問

次の問いに答えなさい．
(1)aを実数の定数とし，xの関数f(x)=ax2+4ax+a2-1を考える．区間-4≦x≦1における関数f(x)の最大値が5であるとき，定数aの値を求めなさい．
(2)f(x)およびg(x)はx=aで微分可能な関数とする．このとき，極限値
\lim_{h→0}\frac{f(a+3h)g(a+5h)-f(a)g(a)}{h}
をf(a)，g(a)および微分係数f´(a)，g´(a)を用いて表しなさい．

　公立 高知工科大学 2015年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)f(x)=|2x+3|のときf(-3)+f(0)+f(3)の値を求めよ．
(2)方程式log2(x-1)+log2(x+2)=2を解け．
(3){\begin{array}{l}
sinx+cosy=1\
cosx+siny=1/2
\end{array}.のときsin(x+y)の値を求めよ．
(4)a,b,xを実数とする．命題
x2-(a+b)x+ab≦0⇒x2＜2x+3
が真となるような定数a,bの満たすべき条件を求めよ．ただし，a≦bとする．
(5)aを定数とし，関数y=f(x)はx=aで微分・・・

　国立 高知大学 2014年 第3問

関数f(x)を
f(x)={\begin{array}{ll}
1/2(x+1)x&(-1≦x≦0　のとき　)\
-1/2x(x-1)&(0＜x≦1　のとき　)\phantom{\frac{[]}{2}}
\end{array}.
とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)f(x)はx=0で微分可能であることを示せ．
(2)関数y=f(x)のグラフをかけ．
(3)y=f´(x)のグラフを-1＜x＜1の範囲でかき，f´(x)がx=0で微分可能かどうかを理由をつけて述べよ．
(4)y=f(x)のグラフとx軸・・・

　国立 富山大学 2014年 第2問

微分可能な関数f(x)と2つの定数p,qが次の条件を満たすとする．
「すべての実数x,yに対して，f(x+y)=pf(x)+qf(y)が成り立つ」
このとき，次の問いに答えよ．
(1)f(0)≠0とする．
(i)p+q=1であることを示せ．
(ii)f(x)は定数関数であることを示せ．
(2)f(0)=0でf(x)が定数関数でないとする．
(i)p=1であることを示せ．
(ii)a=f´(0)とす・・・

　国立 愛媛大学 2014年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)すべての実数xに対して
f(x)=sinπx+∫01tf(t)dt
が成り立つような関数f(x)を求めよ．
(2)次の極限値を求めよ．
\lim_{θ→0}\frac{θ3}{tanθ-sinθ}
(3)次の極限値を求めよ．
\lim_{n→∞}Σ_{k=n+1}^{2n}1/k
(4)関数f(x)=|x|(ex+a)はx=0において微分可能であるとする．このとき，定数aの値を求めよ．

　私立 慶應義塾大学 2014年 第5問

以下の[ト]，[ナ]，[ニ]には三角関数はsinθとcosθのみを用いて記入し，[ヌ]にはxの式，[ネ]にはyの式を記入すること．
座標平面上の2点(1,0)，(0,1)を結ぶ曲線Cが媒介変数θを用いて
{\begin{array}{l}
x=f(θ)\
y=g(θ)
\end{array}.(0≦θ≦π/2)
と表されているとする．いま，関数f(θ)，g(θ)は0≦θ≦・・・