「微分可能」について

　公立 大阪府立大学 2014年 第4問

以下の問いに答えよ．
(1)関数f(x)=|x|がx=0において微分可能でないことを微分の定義に基づいて示せ．
(2)y=x|x|のグラフの概形を描け．
(3)mは自然数とする．関数g(x)=xm|x|がx=0において微分可能であるか微分可能でないかを理由をつけて答えよ．

　公立 横浜市立大学 2014年 第2問

ある開区間Dで与えられた関数f(x)は，2階微分可能で，第2次導関数f^{\prime\prime}(x)は連続で，更にf^{\prime\prime}(x)＜0と仮定する．以下の問いに答えよ．
(1)a1＜a2＜a3を満たすDのa1,a2,a3に対して
\frac{f(a2)-f(a1)}{a2-a1}＞\frac{f(a3)-f(a2)}{a3-a2}
を示せ．
(2)x1,x2をDの実数とする．0≦α≦1を満たすαに対して
f(αx1+(1-α)x2)≧αf(x1)+(1-α)f(x2)
を示せ．
(3)x1,x2,x3をDの実・・・

　公立 京都府立大学 2014年 第3問

区間-1≦x≦1で定義された連続関数f(x)を
12xf(x)+12∫0xf(t)dt=15x3|x|-16x3,f(0)=0
によって定める．曲線C:y=f(x)を考える．以下の問いに答えよ．
(1)f(x)を求めよ．
(2)f(x)はx=0で微分可能であることを示せ．
(3)曲線Cと直線ℓ:y=aとの区間-1≦x≦1における共有点の個数を，aの値によって分類せよ．
(4)曲線Cと3直線y=-1，x=-1，x=1で囲まれる部分を，x軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

　国立 新潟大学 2013年 第5問

微分可能な関数f(x)が，すべての実数x,yに対して
f(x)f(y)-f(x+y)=sinxsiny
を満たし，さらにf´(0)=0を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)f(0)を求めよ．
(2)関数f(x)の導関数f´(x)を求めよ．
(3)定積分∫0^{π/3}\frac{dx}{f(x)}を求めよ．

　国立 富山大学 2013年 第2問

定数でない微分可能な関数f(x)が，すべての実数k,xについて
∫_{k-x}^{k+x}f(t)dt=x/2{f(k-x)+2f(k)+f(k+x)}
を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)kを定数とし，g(x)=f(k+x)+f(k-x)とおく．このとき，g(x)をf(k)，x，g´(x)を用いて表せ．
(2)x≠0のとき(\frac{g(x)}{x})´をf(k)，xを用いて表せ．
(3)g´(x)は定数関数であることを示せ．
(4)f´(k+x)=f´(k-x)であることを示せ．
(5)・・・

　国立 お茶の水女子大学 2013年 第7問

-2≦x≦2上で関数f(x),g(x)を
f(x)=1/2-1/4|x|,g(x)=∫_{-2}xf(t)dt
によって定める．
(1)y=f(x)のグラフの概形を描け．
(2)g(x)を計算し，y=g(x)のグラフの概形を描け．
(3)y=g(x)の逆関数y=g^{-1}(x)を求め，そのグラフの概形を描け．
(4)∫01(g^{-1}(x))2dxを計算せよ．
(5)y=g^{-1}(x)はx=1/2で微分可能であることを示せ．

　国立 島根大学 2013年 第4問

x＜1に対して，f(x)=|x|log(1-x)とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数y=f(x)はx=0で微分可能かどうかを調べよ．
(2)関数y=f(x)のグラフと直線y=-xの交点を求めよ．
(3)不定積分∫xlog(1-x)dxを求めよ．
(4)x≦0において関数y=f(x)のグラフと直線y=-xで囲まれた図形の面積Sを求めよ．

　国立 岐阜大学 2013年 第4問

正の整数nについて，x＞0で定義された関数fn(x)を次で定める．
\begin{array}{l}
f1(x)=xlogx\
f_{n+1}(x)=(n+1)∫1xfn(t)dt+\frac{1}{n+1}(x^{n+1}-1)
\end{array}
以下の問に答えよ．ただし，logxはxの自然対数とする．
(1)関数f2(x)を求めよ．
(2)関数fn(x)の具体的な形を推測し，それを数学的帰納法で証明せよ．
(3)g(x)=|f2(x)|-|x-1|とおくとき，g(x)がx=1で微分可能であることを証明せよ．また，微分係数g´(1)を求めよ．
\end・・・

　国立 島根大学 2013年 第2問

x＜1に対して，f(x)=|x|log(1-x)とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数y=f(x)はx=0で微分可能かどうかを調べよ．
(2)関数y=f(x)のグラフと直線y=-xの交点を求めよ．
(3)不定積分∫xlog(1-x)dxを求めよ．
(4)x≦0において関数y=f(x)のグラフと直線y=-xで囲まれた図形の面積Sを求めよ．

　公立 横浜市立大学 2013年 第2問

aを正の定数とする．nを0以上の整数とし，多項式Pn(x)をn階微分を用いて
Pn(x)=\frac{dn}{dxn}(x2-a2)n(n≧1),P0(x)=1
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)n=2およびn=3に対して
P2(-a),P3(-a)
を求めよ．
(2)u=u(x)，v=v(x)を何回でも微分可能な関数とする．そのとき，{\bfライプニッツの公式}
(uv)^{(n)}=\comb{n}{0}u^{(n)}v+\comb{n}{1}u^{(n-1)}v´+・・・+\comb{n}{k}u^{(n-k)}v^{(k)}+・・・+\comb{n}{n-1}u´v^{(n-1)}+\comb{n}・・・