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a,bを実数とし,a<bとする.関数f(x)は閉区間[a,b]で連続,開区間(a,b)で少なくとも2回まで微分可能で,f^{\prime\prime}(x)≧0とする.以下の問いに答えよ.
(1)a<c<bとする.y=g(x)を点(c,f(c))におけるf(x)の接線とする.a≦x≦bのときg(x)≦f(x)を示せ.
(2)y=h(x)を,(a,f(a)),(b,f(b))の2点を通る直線とする.a≦x≦bのときf(x)≦h(x)を示せ.
(3)a<c<bとする.
1/2(b-a)(f´(c)(a+b-2c)+2f(c)\ri・・・
国立 宮城教育大学 2012年 第5問関数f(x)は微分可能で,導関数f´(x)は連続であるとする.p(x)=xe^{2x}とおくとき,f(x)は
∫0xf(t)cos(x-t)dt=p(x)
を満たしている.このとき次の問いに答えよ.
(1)f(0)=p´(0)を示せ.
(2)f´(x)=p(x)+p^{\prime\prime}(x)を示せ.
(3)f(x)を求めよ.
私立 東京理科大学 2012年 第1問次の文章中の[ア]から[ラ]までに当てはまる数字0~9を求めて記入せよ.ただし,分数は既約分数として表しなさい.
(1)数列{an},{bn}(n=1,2,3,・・・)は次の関係式を満たすとする.
a1=0,{\begin{array}{l}
bn=1/5an+1\
a_{n+1}=3bn+2
\end{array}.(n=1,2,3,・・・)
このとき,b1=[ア]で,n\geq1に対してb_{n+1}=\frac{[イ]}{[ウ]}bn+\frac{[エ]}{\・・・
私立 東京慈恵会医科大学 2012年 第1問次の問いに答えよ.問い(1)~(3)については,[]にあてはまる適切な数値を記入せよ.
(1)xの2次不等式
6x2-(16a+7)x+(2a+1)(5a+2)<0
をみたす整数xが10個となるように,正の整数aの値を定めると[ア]である.
(2)三角形ABCにおいて,AB=√2,BC=2,CA=√3とし外心をOとする.このとき,ベクトルAO=sベクトルAB+tベクトルACをみたす実数s,tの値はs=[イ],t=[ウ]である.
(3)袋Aには赤玉2個と白玉・・・
国立 島根大学 2011年 第3問次の問いに答えよ.
(1)関数y=|x|sinxのx=0における微分可能性を調べよ.
(2)不定積分∫xsin2xdxを求めよ.
(3)-π/2≦x≦π/2の範囲で,曲線C:y=|x|sinxを考える.Cと直線y=xで囲まれる図形をx軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ.
国立 島根大学 2011年 第3問次の問いに答えよ.
(1)関数y=|x|sinxのx=0における微分可能性を調べよ.
(2)不定積分∫xsin2xdxを求めよ.
(3)-π/2≦x≦π/2の範囲で,曲線C:y=|x|sinxを考える.Cと直線y=xで囲まれる図形をx軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ.
私立 明治大学 2011年 第3問次の空欄[ア]から[オ]に当てはまるものをそれぞれ入れよ.
関数f(t)は0<t<π/2において微分可能でf(t)>0かつf´(t)>0をみたすとする.またf(π/3)=2とする.
媒介変数表示{\begin{array}{l}
x=f(t)cost\
y=f(t)sint
\end{array}.(0<t<π/2)により定まる曲線をCとする.C上の点P(f(t)cost,f(t)sint)における接線とx軸・・・
公立 横浜市立大学 2011年 第1問以下の問いに答えよ.
(1)関数
f(x)=xsin2x(0≦x≦π)
の最大値を与えるxをαとするとき,f(α)をαの分数式で表すと[1]となる.
(2)多項式
a4+b4+c4-2a2b2-2a2c2-2b2c2
を因数分解すると[2]となる.
(3)Nを与えられた自然数とし,f(x)およびg(x)を区間(-∞,∞)でN回以上微分可能な関数とする.f(x)とg(x)から定まる関数を次のように定義する.tを与えられた実数として,
\begin{array}{lll}
(f\a・・・
国立 島根大学 2010年 第3問次の問いに答えよ.
(1)すべての実数xに対して次の等式を満たす関数f(x)を求めよ.
f(x)=sin2x+2√2∫0^{π/4}f(t)costdt
(2)すべての実数xに対して次の等式を満たす関数g(x)を求めよ.
g(x)=x-1/2sin2x+∫0^{x}g^{\prime}(t)costdt
ただし,g(x)は微分可能で,その導関数g^{\prime}(x)は連続であるとする.
国立 島根大学 2010年 第3問次の問いに答えよ.
(1)すべての実数xに対して次の等式を満たす関数f(x)を求めよ.
f(x)=sin2x+2√2∫0^{π/4}f(t)costdt
(2)すべての実数xに対して次の等式を満たす関数g(x)を求めよ.
g(x)=x-1/2sin2x+∫0^{x}g^{\prime}(t)costdt
ただし,g(x)は微分可能で,その導関数g^{\prime}(x)は連続であるとする.