「微分可能」について

　国立 三重大学 2010年 第4問

xの微分可能な関数を成分とする行列M=\biggl(\begin{array}{cc}
m_{11}&m_{12}\\
m_{21}&m_{22}
\end{array}\biggr)に対し，Mの各成分をxで微分した行列\biggl(\begin{array}{cc}
m_{11}^{\prime}&m_{12}^{\prime}\\
m_{21}^{\prime}&m_{22}^{\prime}
\end{array}\biggr)をM^{\prime}と表す．a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}およびb_{11},b_{12},b_{21},b_{22}をxの微分可能な関数とし，
A=\biggl(\begin{array}{cc}
a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}
\end{array}\biggr),B=\biggl(・・・

　国立 大分大学 2010年 第3問

微分可能な関数y=f(x)が次の方程式を満たすとする．
anf^{(n)}(x)+a_{n-1}f^{(n-1)}(x)+・・・+a1f^{(1)}(x)+a0f(x)=0(　A　)
ここにnは自然数，ai(i=0,1,2,・・・,n)は実数の定数で，an≠0である．また，y^{(k)}=f^{(k)}(x)はf(x)のk次導関数でy^{(0)}=f^{(0)}(x)=f(x)とする．(A)のような方程式を第n階微分方程式といい，(A)に対してtのn次方程式
antn+a_{n-1}t^{n-1}+・・・+a1t+a0=0(　B　)
を(A)の特性方程式という．このとき次の問いに答えよ．
\begin・・・

　国立 茨城大学 2010年 第1問

以下の各問に答えよ．
(1)nを3以上の自然数とする．整式xnをx2-4x+3で割ったときの余りを求めよ．
(2)数列
1,1+3+1,1+3+9+3+1,1+3+9+27+9+3+1,・・・
の第n項から第2n項までの和を求めよ．ただし，nは自然数とする．
(3)微分可能な関数f(x)がf(0)=0かつf´(0)=πを満たすとき，次の極限値を求めよ．
\lim_{θ→0}\frac{f(1-cos2θ)}{θ2}

　国立 室蘭工業大学 2010年 第2問

関数g(x)は微分可能であるとし，関数f(x)をf(x)=∫_{-π}^π{t-g(x)sint}2dtと定める．
(1)定積分∫_{-π}^πtsintdt,∫_{-π}^πsin2tdtの値を求めよ．
(2)f´(x)をg(x),g´(x)を用いて表せ．
(3)g(x)=x3-3xであるとき，f(x)の極大値を求めよ．

　国立 滋賀医科大学 2010年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)aを実数の定数，f(x)をすべての点で微分可能な関数とする．このとき次の等式を示せ．
f´(x)+af(x)=e^{-ax}(e^{ax}f(x))´
ただし，´はxについての微分を表す．
(2)(1)の等式を利用して，次の式を満たす関数f(x)で，f(0)=0となるものを求めよ．
f´(x)+2f(x)=cosx
(3)(2)で求めた関数f(x)に対して，数列{|f(nπ)|}(n=1,2,3,・・・)の極限値
\lim_{n→∞}|f(nπ)|
を求めよ・・・

　国立 滋賀医科大学 2010年 第4問

2回微分可能な関数f(x)，すなわちf(x)の導関数f´(x)及びf´(x)の導関数f^{\prime\prime}(x)が存在する関数が，すべての実数xについて
f´(x)＞f^{\prime\prime}(x)
を満たしている．また，a＜bとする．
(1)\frac{f´(a)}{ea}＞\frac{f´(b)}{eb}を示せ．
(2)\frac{f´(a)}{ea}＞\frac{f(b)-f(a)}{eb-ea}＞\frac{f´(b)}{eb}を示せ．
(3)すべての実数xについてf(x)＞0であるとき，すべての実数xについて
f(x)＞f^\pri・・・

　国立 千葉大学 2010年 第11問

f(x)は実数全体で定義された関数とする．実数aに関する条件(P)を考える．
(P)正の実数rを十分小さく選べば，|x-a|＜rをみたすすべての実数xに対してf(x)≦f(a)が成り立つ．
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)実数aが条件(P)をみたし，かつ，f(x)がx=aで微分可能ならば，f´(a)=0であることを証明せよ．
(2)関数f(x)が
f(x)={
\begin{array}{ll}
|x|-x&(x＜1　のとき　)\\
\abs{x2-6x+8・・・

　公立 京都府立大学 2010年 第3問

関数f(x)=∫0^π|t2-x2|sintdtについて，以下の問いに答えよ．
(1)f(0)を求めよ．
(2)定数aを実数とする．f(a)を求めよ．
(3)f(x)はx=πで微分可能であることを示せ．
(4)点(π,f(π))における曲線C:y=f(x)の接線をℓとする．C，ℓ，およびy軸で囲まれた部分の面積を求めよ．