「微分」について

　国立 宮崎大学 2011年 第1問

次の各問に答えよ．ただし，logxはxの自然対数を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
(2)y=e^{√x}
(3)y=\frac{log|cosx|}{x}
(4)次の定積分の値を求めよ．
(5)∫0^{\frac{\sqrt{π}}{2}}xtan(x2)dx
\mon∫0^{1/3}xe^{3x}dx
\mon∫e^{ee}\frac{1}{xlogx}dx
\mon∫23\frac{x2+1}{x(x+1)}dx
\end{en・・・

　国立 宮崎大学 2011年 第1問

次の各問に答えよ．ただし，logxはxの自然対数を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
(2)y=e^{√x}
(3)y=\frac{log|cosx|}{x}
(4)次の定積分の値を求めよ．
(5)∫0^{\frac{\sqrt{π}}{2}}xtan(x2)dx
\mon∫0^{1/3}xe^{3x}dx
\mon∫e^{ee}\frac{1}{xlogx}dx
\mon∫23\frac{x2+1}{x(x+1)}dx
\end{enumer・・・

　国立 長崎大学 2011年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)関係式
a1=1,na_{n+1}-(n+1)an=1(n=1,2,・・・)
によって定義される数列{an}の一般項を求めたい．bn=\frac{an}{n}(n=1,2,・・・)とおいて数列{bn}の一般項を求めることにより，anを求めよ．
(2)x≠1のとき，等比数列の和の公式
Σ_{k=0}^{n-1}xk=\frac{xn-1}{x-1}
の両辺をxで微分せよ．その結果を利用して，Σ_{k=1}^{n-1}kxkを求めよ．
(3)p≠1のとき，関係式
c1=0,\fr・・・

　国立 山梨大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)実数xに対して[x]をm≦x＜m+1を満たす整数mとする．このとき
\lim_{n→∞}\frac{[10^{2n}π]}{10^{2n}}
を求めよ．
(2)y=log\frac{\sqrt{1+ex}-1}{\sqrt{1+ex}+1}を微分せよ．
(3)0＜x＜πにおいてsinx+sin2x=0を満たすxを求めよ．また，定積分∫0^π|sinx+sin2x|dxを求めよ．
(4)Aを2次正方行列とする．A2-2011A+E=OならばAは逆行列を持つことを示せ．ただし，Eは単位行列，Oは零行・・・

　国立 山梨大学 2011年 第2問

実数全体で定義された関数F(x)が次の条件①と②の両方を満たすとき「F(x)は性質(P)を持つ」ということにする．
①すべての実数xについてF(x)＞0である．
②F(x)は何度でも微分が可能で\frac{d2}{dx2}logF(x)=\frac{1}{{F(x)}2}を満たす．

(1)y=f(x)が性質(P)を持つときy^{\prime\prime}y-(y´)2=1，y^{\prime\prime\prime}y-y^{\prime\prime}y´=0となるこ・・・

　私立 藤田保健衛生大学 2011年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)m(x)=\frac{m0}{\sqrt{1-\frac{x}{c2}}}とする．ただしm0,cは正の定数である．またc2より十分小さい正の定数\varepsilonに対して0＜x＜\varepsilonとする．
(i)m´(x)=[]である．
(ii)m(x)-m0を平均値の定理を用いて表すと[*]である．ただし*を書き表わす際，新たに必要となる実数があればkを用い，kが満たすべき条件も明記せよ．
(iii)\varepsilon・・・

　私立 中央大学 2011年 第1問

次の各問いに答えよ．
(1)xy=100，x＞yをみたす自然数x,yの組み合わせは何通りあるか．
(2)次の値を求めよ．
Σ_{k=1}^{10}(2k2-3k+5)
(3)kが定数のとき，y=x2-2kx+2k2+3k-2は放物線を表す．定数kをいろいろ変化させるとき，放物線の頂点はどのような曲線上を動いていくか．
(4)半径が2t+1の球の体積をV(t)とする．V(t)をtで微分した導関数を求めよ．
(5)log_{10}x=0.8，log_{10}y=0.3のとき，log_{10}x2y3の値を求めよ．
\mon1枚の硬貨を5回投げたとき，表が3・・・

　公立 大阪府立大学 2011年 第2問

f(x)=e^{-x}cosxとする．
(1)e^{-x}sinx-e^{-x}cosxを微分せよ．
(2)定積分∫0^{π/2}f(x)dxを求めよ．
(3)自然数nに対して，
Sn=1/n{f(π/2n)+f(\frac{2π}{2n})+f(\frac{3π}{2n})+・・・+f(\frac{nπ}{2n})}
とおく．次の式が成り立つことを示せ．
Sn＜2/π∫0^{π/2}f(x)dx＜Sn+1/n
(4)\lim_{・・・

　国立 富山大学 2010年 第3問

f(x)=(1+x)^{1/x}(x＞0)とするとき，次の問いに答えよ．
(1)logf(x)を微分することによって，f(x)の導関数を求めよ．
(2)0＜x1＜x2をみたす実数x1,x2に対して，f(x1)＞f(x2)であることを証明せよ．
(3)(\frac{101}{100})^{101}と(\frac{100}{99})^{99}の大小を比較せよ．

　国立 富山大学 2010年 第1問

f(x)=(1+x)^{1/x}(x＞0)とするとき，次の問いに答えよ．
(1)logf(x)を微分することによって，f(x)の導関数を求めよ．
(2)0＜x1＜x2をみたす実数x1,x2に対して，f(x1)＞f(x2)であることを証明せよ．
(3)(\frac{101}{100})^{101}と(\frac{100}{99})^{99}の大小を比較せよ．