「必要十分条件」について

　公立 大阪府立大学 2011年 第3問

3次の正方行列(\begin{array}{ccc}
a&b&c\\
0&d&e\\
0&0&f
\end{array})について，以下の問いに答えよ．ただし，Aと同じ型の単位行列をE，零行列をOとする．
(1)A3を求めよ．
(2)A3=Oであるための必要十分条件は，a=d=f=0であることを示せ．
(3)(A+E)3=Eならば，A=Oであることを示せ．

　公立 兵庫県立大学 2011年 第2問

xy平面においてy=x2で表される放物線をCとする．C上の点T(t,t2)を通る直線で，点TにおけるCの接線と直交するものを，点TにおけるCへの垂線と呼ぶことにする．以下の問に答えなさい．
(1)点T(t,t2)におけるCへの垂線の方程式を求めなさい．
(2)点A(-12,15/2)からひいたCへの垂線の方程式をすべて求めなさい．
(3)xy平面上の点B(p,q)からCへの垂線が3本ひけるとき，p,qが満たすべき必要十分・・・

　国立 東北大学 2010年 第4問

四面体ABCDにおいて，辺ABの中点をM，辺CDの中点をNとする．以下の問いに答えよ．
(1)等式
ベクトルPA+ベクトルPB=ベクトルPC+ベクトルPD
を満たす点Pは存在するか．証明をつけて答えよ．
(2)点Qが等式
|ベクトルQA+ベクトルQB|=|ベクトルQC+ベクトルQD|
を満たしながら動くとき，点Qが描く図形を求めよ．
(3)点Rが等式
|ベクトルRA|2+|ベクトルRB|2=|ベクトルRC|2+|ベクトルRD|2
を満たしながら動くとき，内積ベクトルMN・ベクトルMRはRのとり方によらず一定であることを示せ．
(4)(2)の・・・

　国立 東北大学 2010年 第4問

四面体ABCDにおいて，辺ABの中点をM，辺CDの中点をNとする．以下の問いに答えよ．
(1)等式
ベクトルPA+ベクトルPB=ベクトルPC+ベクトルPD
を満たす点Pは存在するか．証明をつけて答えよ．
(2)点Qが等式
|ベクトルQA+ベクトルQB|=|ベクトルQC+ベクトルQD|
を満たしながら動くとき，点Qが描く図形を求めよ．
(3)点Rが等式
|ベクトルRA|2+|ベクトルRB|2=|ベクトルRC|2+|ベクトルRD|2
を満たしながら動くとき，内積ベクトルMN・ベクトルMRはRのとり方によらず一定であることを示せ．
(4)(2)の・・・

　国立 琉球大学 2010年 第3問

点(a,b)を通り曲線y=x3-xに接するような異なる3本の直線が存在するための実数a,bが満たすべき必要十分条件を求め，それを満たす点(a,b)の存在する領域を図示せよ．

　国立 岐阜大学 2010年 第1問

bとdで実数の定数を表す．次の条件(*)を考える．
(*)　すべての正の実数　x　に対して　\frac{x+b}{x3+1}＜\frac{x+2b+d}{x3+2}　である．　
以下の問に答えよ．
(1)b+d＞0は，(*)が成立するための必要条件であることを示せ．
(2)d＞0は，(*)が成立するための必要条件であることを示せ．
(3)dを任意の正の実数とする．(*)が成立するための必要十分条件として，bが満たすべき範囲をdを用いて表せ．

　国立 岐阜大学 2010年 第1問

bとdで実数の定数を表す．次の条件(*)を考える．
(*)　すべての正の実数　x　に対して　\frac{x+b}{x3+1}＜\frac{x+2b+d}{x3+2}　である．　
以下の問に答えよ．
(1)b+d＞0は，(*)が成立するための必要条件であることを示せ．
(2)d＞0は，(*)が成立するための必要条件であることを示せ．
(3)dを任意の正の実数とする．(*)が成立するための必要十分条件として，bが満たすべき範囲をdを用いて表せ．

　国立 富山大学 2010年 第3問

行列A=\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
-b&c
\end{array}\biggr)で表される座標平面上の点の移動を考える．原点を通る直線ℓ上のすべての点がℓ上の点に移されるとき，この移動によってℓはそれ自身に移されるということにする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)原点を通る直線で，この移動によってそれ自身に移されるものがちょうど2つ存在するための必要十分条件を，a,b,cを用いて表せ．
(2)a,b,cが(1)の条件をみたすとき，(1)の2つの直線は，直線y=xに関して対称であることを証・・・

　国立 高知大学 2010年 第4問

kとlを実数の定数とし，xに関する方程式
x4-2(k-l)x2+(k2+l2-6k-8l)=0・・・・・・①
を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)方程式①でk=2,l=1としたときの解を求めよ．
(2)方程式①が実数解を持たないための必要十分条件をkとlで表せ．
(3)方程式①の異なる実数解の個数が3つであるような実数の組(k,l)を座標平面上に図示せよ．
(4)方程式①の異なる実数解の個数がただ1つであるような整数の組(k,l)をすべて求めよ．・・・

　国立 愛知教育大学 2010年 第1問

一辺の長さが2sである正三角形ABCの3つの頂点をA(-s,0)，B(s,0)，C(0,√3s)とする．AP2+BP2+CP2=tであるような点Pについて，以下の問いに答えよ．
(1)このような点Pが存在するためのs,tについての必要十分条件と，この条件の下での点Pの軌跡の方程式を求めよ．
(2)点Pの軌跡が頂点Aを通る場合のsとtの関係式を求めよ．またこのときの点Pの軌跡を△ABCとともに図示せよ．
\end{e・・・