「必要十分条件」について

　国立 防衛医科大学校 2010年 第4問

座標平面上の原点O(0,0)，点A(1,0)，点B(1,1)，点C(0,1)および点P(a,b)に対して，点Pを原点のまわりに90°回転した点をQ，点Qを点Aのまわりに90°回転した点をR，点Rを点Bのまわりに90°回転した点をS，また点Pを点Cのまわりに-90°回転した点をUとする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)点Rの座標を求めよ．
(2)点Uの座標を求めよ．
(3)ベクトルベクトルUSはa,bに無関係であることを示せ．
(4)3点B，R，Uが一直線上にあるための必要十分条件を求めよ．ただし，2・・・

　公立 大阪市立大学 2010年 第3問

a,bを正の実数とし，座標平面上の放物線C:y=ax2+bを考える．t,sは正の実数とし，点P(t,at2+b)におけるCの接線をℓP，点Q(s,as2+b)におけるCの接線をℓQで表す．ℓPは原点を通っているとする．次の問いに答えよ．
(1)ℓPの傾きが1未満となるための必要十分条件を，aとbを用いて表せ．
(2)ℓPの傾きは1未満とし，ℓPとx軸がなす鋭角をθと表す．QをℓQとx軸のなす鋭角が2θになるようにとるとき，ℓQの傾きをaとbを用い・・・

　公立 大阪府立大学 2010年 第3問

単位行列Eの実数倍ではない行列A=\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array}\biggr)を考える．Aで表わされるxy平面上の移動をfとする．
(1)A2=kEを満たす実数kが存在するための必要十分条件は，a+d=0であることを示せ．
(2)a+d=0のとき，原点Oとは異なる点Pで，f(P)が直線OP上にあるものが存在すれば，a2+bc≧0であることを示せ．
(3)a+d=0かつa2+bc≧0であるとする．このとき\lambda=\sqrt{a2+bc}とおけば，(A-\lambdaE)(A+\lambdaE)=Oが成り立つことを示・・・