「必要十分条件」について

　私立 慶應義塾大学 2015年 第3問

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．
p,qを正の実数として，曲線Cをx^{1/p}+y^{1/q}=1(0≦x≦1,0≦y≦1)により定義する．
(1)曲線Cの方程式をyについて解いて得られる関数をy=f(x)(0≦x≦1)とおく．y=f(x)のグラフが0＜x＜1において変曲点をもつためにはp,qが条件[あ]を満たすことが必要十分である．
(2)曲線Cとx軸，y軸で囲まれた図形の面積をS(p,q)・・・

　私立 中央大学 2015年 第2問

実数a,bに対し
f(a,b)=a2-ab+b+1
とする．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)「すべてのaに対しf(a,b)≧0」となるためのbの必要十分条件を求めよ．
(2)「b≧0であるすべてのbに対しf(a,b)≧0」となるためのaの必要十分条件を求めよ．
(3)「すべてのbに対しf(a,b)≧0」となるためのaの必要十分条件を求めよ．

　私立 上智大学 2015年 第3問

ある工場では製品X，Yを生産している．それらを生産するには，原料A，B，Cが必要である．Xを1kg生産するためには，Aが1kg，Bが4kg，Cが1kg必要である．Yを1kg生産するためには，Aが3kg，Bが3kg，Cが2kg必要である．原料の在庫はそれぞれ，Aが23kg，Bが47kg，Cがckg・・・

　私立 慶應義塾大学 2015年 第4問

企業Xがn個の新製品を同時に開発しており，各新製品の開発に成功する確率は1/9である．すべての開発の結果が出た後に企業Xが存続できるための必要十分条件は，n個のうち1個以上の新製品の開発に成功していることである．ただし，各新製品の開発は独立な試行であるとする．企業Xがn個の新製品すべての開発に失敗する確率をpn，また企業Xが存続できる確率をqnとする．以下では，log_{10}2=0.3010，log_{10}3=0.4771として計算せよ．
(1)pn,・・・

　私立 上智大学 2015年 第2問

Nを2以上の整数とする．整数a,bに対し，演算\oplusを
a\oplusb=\biggl((a+b)　を　N　で割ったときの余り　\biggr)
と定める．例えば，N=2のとき，
0\oplus0=0,0\oplus1=1,1\oplus1=0,1\oplus3=0
である．
(1)次の条件によって定められる数列{an}を考える．
a1=1,a_{n+1}=an\oplus(n+1)(n=1,2,3,・・・)
(i)N=4のとき，a3=[ヌ]である．
(ii)N・・・

　私立 上智大学 2015年 第3問

aを実数とするとき，座標平面において，円C:x2+y2=20および円Ca:x2+y2+a(x+3y-10)=20を考える．
(1)どのようなaの値に対しても，Caは2点P([モ],[ヤ])，Q([ユ],[ヨ])を必ず通る．ただし，[モ]＜[ユ]とする．
(2)Caの中心の座標は(\frac{[ラ]}{[リ]}a,\frac{[ル]}{[レ]}a)であり，Caの半径をrとすると，r2=\frac{\・・・

　私立 上智大学 2015年 第2問

赤いカードと青いカードが10枚ずつあり，それぞれ0から9までの数字が1つずつ書かれている．これら20枚から数枚を選ぶときの選び方に関する次の条件Pを考える．
P：選んだカードのうち，赤いカードに書かれた数字はすべて偶数である．
(1)Pであるための必要十分条件を下の選択肢からすべて選べ．ただし，選択肢に正解がない場合は，Zをマークせよ．
(2)Pの否定を下の選択肢からすべて選べ．ただし，選択肢に正解がない場合は，Zをマークせよ．
選択肢：
\mon[A・・・

　私立 早稲田大学 2015年 第3問

平面上に長さ1のベクトルベクトルnがある．また，aはa＞1をみたす定数とする．平面上のベクトルベクトルxに対して，ベクトルベクトルyを
ベクトルy=ベクトルx-a(ベクトルx・ベクトルn)ベクトルn
により定める．ただし，ベクトルx・ベクトルnはベクトルの内積を意味し，a(ベクトルx・ベクトルn)はそのa倍の実数を表している．
(1)すべてのベクトルベクトルxに対して|ベクトルx|=|ベクトルy|が成り立つための必要十分条件は，a=2であることを示せ．
(2)\vect・・・

　公立 奈良県立医科大学 2015年 第5問

複素数αは実数でも純虚数でもないとする．\frac{α}{1+α2}が実数であるためにαの満たすべき必要十分条件を求めよ．

　国立 大阪大学 2014年 第1問

実数a,b,c,d,eに対して，座標平面上の点A(a,b)，B(c,d)，C(e,0)をとる．ただし点Aと点Bはどちらも原点O(0,0)とは異なる点とする．このとき，実数s,tで
sベクトルOA+tベクトルOB=ベクトルOC
を満たすものが存在するための，a,b,c,d,eについての必要十分条件を求めよ．