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不等式1≦x2+y2≦4が表すxy平面内の領域をDとする.Pを円x2+y2=1上の点,QとRを円x2+y2=4上の異なる2点とし,三角形PQRは領域Dに含まれているとする.a,bを実数とし,行列A=(\begin{array}{cc}
a&-b\
b&a
\end{array})の表す1次変換によりPはP´,QはQ´,RはR´に移されるとする.このとき,三角形P´Q´R´が領域Dに含まれるためのa,・・・
国立 富山大学 2014年 第2問次の問いに答えよ.
(1)2つの実数a,bがともに2より大きいための必要十分条件は,ab-2(a+b)+4>0かつa+b>4であることを示せ.
(2)定数kに対して,方程式
(log2x)2-(k+2)log2x-k+17=0
を考える.
(i)方程式が実数解α,βをもつとき,log2(αβ)と(log2α)(log2β)をkを用いて表せ.
(ii)方程式が4より大きい異なる2つの実数解をもつようなkの値の範囲を求めよ.
国立 お茶の水女子大学 2014年 第3問△ABCが与えられているとする.以下の問いに答えよ.
(1)辺AB上の点P,辺AC上の点Qが,それぞれAP:PB=s:1-s,AQ:QC=t:1-tと辺AB,ACを内分するように与えられているとする(即ち0<s<1,0<t<1とする).直線PQが△ABCの重心を通るための必要十分条件は3st=s+tであることを示せ.
(2)直線ℓを△ABCの重心を通る直線とする.ℓによって,△ABCはふた・・・
国立 愛媛大学 2014年 第1問次の問いに答えよ.
(1)AB=1,∠A={90}°を満たす直角二等辺三角形ABCにおいて,辺ABの中点をP,辺ACを2:1に内分する点をQ,線分CPと線分BQの交点をRとする.このとき,線分ARの長さを求めよ.
(2)(1/3)^{26}を小数で表すと,小数第何位に初めて0でない数字が現れるか.ただし,必要ならばlog_{10}3=0.4771として計算せよ.
(3)kを実数とし,不等式x2-2x-3>0,x・・・
私立 慶應義塾大学 2014年 第1問次の問いに答えよ.
(1)3次方程式x3+1=0の-1でない解の1つをαとするとき,
(3+7α)(7+3α)-4(1+α2)=[ア]α
となる.
(2)三角形ABCにおいて,
AB=2,∠ACB=π/4,∠BAC=π/3
であるとき,AC=[イ]である.
(3)X=(\begin{array}{rr}
2&1\
-2&-1
\end{array}),Y=(\begin{array}{rr}
-3&0\
0&-3
\end{array})および自然数nに対・・・
私立 金沢工業大学 2014年 第2問次の[]に当てはまるものを下記の①~④のうちから一つ選び,その番号をマークせよ.ただし,同じものをくり返し選んでもよい.
a,b,cを定数とし,a≠0とする.条件p,q,r,s,tを次のように定める.
p:方程式ax2+bx+c=0は異なる2つの実数解をもつ.
q:座標平面で関数y=ax2+bx+cのグラフはx軸と異なる2点で交わる.
r:ac<0である.
s:b2-ac>0である.
t:(a+b+c)(a-b+c)<0である.
このとき,・・・
私立 大阪工業大学 2014年 第1問次の空所を埋めよ.
(1)2次方程式x2-4x+2=0の解をα,βとするとき,α+β=[ア]であり,α3+β3=[イ]である.
(2)関数y=|x2-2x|のグラフと直線y=x-1の共有点のx座標は[ウ]と[エ]である.ただし,[ウ]<[エ]とする.
(3)2個のさいころを同時に投げるとき,2個の目がともに5となる確率は[オ]であり,少なくとも1個の目が5以上である確率は[カ]である.
(4)aを実数とするとき,\in・・・
私立 大阪工業大学 2014年 第1問次の空所を埋めよ.
(1)2次方程式x2-4x+2=0の解をα,βとするとき,α+β=[ア]であり,α3+β3=[イ]である.
(2)関数y=|x2-2x|のグラフと直線y=x-1の共有点のx座標は[ウ]と[エ]である.ただし,[ウ]<[エ]とする.
(3)2個のさいころを同時に投げるとき,2個の目がともに5となる確率は[オ]であり,少なくとも1個の目が5以上である確率は[カ]である.
(4)aを実数とするとき,\in・・・
私立 大同大学 2014年 第6問次の[ノ]から[リ]までの[]にあてはまる0から9までの数字を記入せよ.
(1)1つのさいころを3回続けて投げるとき,出た目が3回とも同じである確率は\frac{[ノ]}{[ハ][ヒ]},3回とも異なる確率は\frac{[フ]}{[ヘ]}であり,3回のうち2回は同じで1回だけ他と異なる確率は\frac{[ホ]}{[マ][ミ]}である.
(2)a,bを自然数とし,xを実数とするとき,以下の[ム]から\kakko{リ・・・
私立 東京女子大学 2014年 第4問mを自然数とするとき,以下を証明せよ.
(1)m3-mはつねに6で割り切れる.
(2)m3-mが4で割り切れるための必要十分条件は,mを4で割った余りが2でないことである.