「必要十分条件」について

　国立 お茶の水女子大学 2013年 第9問

放物線y=x2をC1，C1と異なる放物線y=ax2+bx+c(a≠0)をC2とする．
(1)a=1のとき，C1とC2の両方に接する直線は最大でも1本しか存在しないことを示せ．
(2)a=1のとき，条件b≠0は条件
C1とC2の両方に接する直線が1本だけ存在する
の必要十分条件であることを示せ．
(3)条件p1,p2,q1,q2を次で定める．
\begin{array}{ll}
p1:C2　は下に凸である．　&p2:C2　は上に凸である．　\
q1:C1\text・・・

　国立 京都教育大学 2013年 第4問

四面体OABCの辺OA，OB，CA，CB上にそれぞれ点P，Q，R，Sをとる．このとき，直線PQと直線RSが平行であるための必要十分条件は
OP/OA=OQ/OB　かつ　CR/CA=CS/CB
であることを証明せよ．

　私立 近畿大学 2013年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)xについての2次式P(x)をx+1で割ると，商がx-aであり，余りがbであるとする．ただし，bは0ではないとする．
(i)2次方程式P(x)=0が異なる2つの実数解をもつための必要十分条件は，
(a+[ア])2＞[イ]bである．
(ii)P(a)=P(-a)を満たすaの値は2つあり，小さい順に，[ウ]，[エ]である．
(iii)P(a+b)=P(a-b)を満たすとき，a=[オカ]である．
\mon・・・

　私立 近畿大学 2013年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)xについての2次式P(x)をx+1で割ると，商がx-aであり，余りがbであるとする．ただし，bは0ではないとする．
(i)2次方程式P(x)=0が異なる2つの実数解をもつための必要十分条件は，
(a+[ア])2＞[イ]bである．
(ii)P(a)=P(-a)を満たすaの値は2つあり，小さい順に，[ウ]，[エ]である．
(iii)P(a+b)=P(a-b)を満たすとき，a=[オカ]である．
\mon・・・

　公立 広島市立大学 2013年 第2問

p,qを実数の定数とする．2次関数f(x)=x2+px+qについて，以下の問いに答えよ．
(1)f(a)=aを満たす実数aが存在するためのp,qについての必要十分条件を求めよ．
(2)f(a)=b,f(b)=aを満たす異なる実数a,bが存在することと，p,qが不等式(p-1)2-4(q+1)＞0を満たすことは同値であることを証明せよ．

　公立 兵庫県立大学 2013年 第1問

次の問に答えなさい．
(1)2つの変数x,yをもつ関数f(x,y)をf(x,y)=\frac{x+y}{2}+\frac{|x-y|}{2}と定める．x,yが実数の値であるとき，f(x,y)=xはx≧yであるための必要十分条件であることを示しなさい．
(2)方程式x2+y2-1+|x2+y2-1|=0を満たす点(x,y)全体の集合を図示しなさい．

　公立 大阪市立大学 2013年 第1問

p,qは実数で，p≠0を満たすものとする．
A=(\begin{array}{rr}
p&p-1\
-p&1-p
\end{array}),B=(\begin{array}{cc}
1-p&1-p\
p&p
\end{array}),C=(\begin{array}{cc}
q&q\
p&p
\end{array})
とおく．次の問いに答えよ．
(1)A2=A,B2=Bが成り立つことを示せ．
(2)AC=CAであるための必要十分条件は，q=1-p，すなわちC=Bであることを示せ．
(3)x,yを実数，nを自然数とするとき，(xA+yB)n=xnA+ynBが・・・

　公立 名古屋市立大学 2013年 第2問

逆行列をもつ行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})によって表される1次変換を考える．以下の問いに答えよ．
(1)この変換によってxy平面上の任意の2点P(x1,y1)およびQ(x2,y2)がそれぞれP´({x1}´,{y1}´)およびQ´({x2}´,{y2}´)に移されるとき，2点間の距離が変換によって変化しない，つまり，|ベクトルPQ|2=|\overrightarrow{P´Q´}|2であるための必要十分条・・・

　公立 鳥取環境大学 2013年 第5問

以下の問に答えよ．
(1)次の(i)～(iii)の文章が命題であれば真偽を答えよ．また真の場合は理由を示し，偽の場合は反例を示せ．命題でない場合は「命題でない」と答えよ．
(i)xが整数ならばx2≧0である．
(ii)nが2以上の整数であるとき2n-1はすべて素数である．
(iii)数学は美しい．
(2)次の(i)～\tokeigoの[]の中に，必要条件であるが十分条件でない，十分条件であるが必要条件でない・・・

　国立 北海道大学 2012年 第4問

実数a,bに対して，f(x)=x2-2ax+b,g(x)=x2-2bx+aとおく．
(1)a≠bのとき，f(c)=g(c)を満たす実数cを求めよ．
(2)(1)で求めたcについて，a,bが条件a＜c＜bを満たすとする．このとき，連立不等式
f(x)＜0　かつ　g(x)＜0
が解をもつための必要十分条件をa,bを用いて表せ．
(3)一般にa＜bのとき，連立不等式
f(x)＜0　かつ　g(x)＜0
が解をもつための必要十分条件を求め，その条件を満たす点(a,b)の範囲をab平面上に図示せよ．