「必要十分条件」について

　国立 千葉大学 2012年 第8問

すべての項が整数である数列を整数列という．p,q,r,sを実数とし，正の整数nに対し
an=p+qn+rn2,bn=p+qn+rn2+sn3
とおく．このとき以下の命題を示せ．
(1)数列{an}が整数列ならば，2rは整数である．
(2)数列{bn}が整数列であるための必要十分条件は，pとq+r+sと2rと6sがいずれも整数となることである．

　国立 佐賀大学 2012年 第4問

サイコロを4回投げて，1，2，3，4回目に出た目をそれぞれa,b,c,dとするとき，行列Aを\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
-c&-d
\end{array}\biggr)で定める．次の問いに答えよ．
(1)A2-(a-d)A-(ad-bc)E=Oを示せ．ただし，E,Oはそれぞれ2次の単位行列，零行列とする．
(2)nを2以上の自然数とするとき，A2=Oが成り立つための必要十分条件は，ad=bcおよびa=dが成り立つことである．これを示せ．
(3)nを2以上の自然数とする．An=Oとなる確率を求めよ．

　国立 お茶の水女子大学 2012年 第4問

以下では，実数を成分にもつ行列を考える．
(1)A=(\begin{array}{cc}
a&b\\
0&d
\end{array})とする．
(i)a＞0,d≧0またはa≧0,d＞0のとき，X2=Aを満たす行列Xを1つ求めよ．
(ii)a＜0またはd＜0のとき，X2=Aを満たす行列Xが存在するための必要十分条件をa,b,dを用いて表せ．また，この条件が成り立つとき，X2=Aを満たす行列Xを1つ求めよ．
(iii)a=d=0,b≠0のとき，X2=Aを満たす行列・・・

　国立 島根大学 2012年 第4問

a,bを定数とし，a≠0とする．連立1次方程式
{
\begin{array}{l}
2x+(a-1)y=b\\
ax+a2y=1
\end{array}
.・・・・・・(*)
について，次の問いに答えよ．
(1)(*)が2組以上の解をもつようなaとbの値を求めよ．
(2)(*)がx=1,y=2をただ1組の解としてもつようなaとbの値を求めよ．
(3)(*)がx=yとなる解をもつためのaとbに関する必要十分条件を求めよ．

　国立 室蘭工業大学 2012年 第1問

a,b,cを定数とし，a＞0とする．関数f(x),g(x)を
f(x)=x2,g(x)=-ax2+bx+c
と定める．
(1)2つの放物線y=f(x)とy=g(x)が2つの交点を持つための必要十分条件を求めよ．
(2)2つの放物線y=f(x)とy=g(x)が2つの交点(-1,1)，(2,4)を持つとする．このとき，bとcをaを用いて表せ．
(3)(2)の条件のもとで，2つの放物線y=f(x)とy=g(x)で囲まれた図形の面積が9であるとき，a,b,cの値を求めよ．

　国立 旭川医科大学 2012年 第1問

正の奇数pに対して，3つの自然数の組(x,y,z)で，x2+4yz=pを満たすもの全体の集合をSとおく．すなわち，
S={(x,y,z)\;\Big|\;x,y,z　は自然数，　x2+4yz=p}
次の問いに答えよ．
(1)Sが空集合でないための必要十分条件は，p=4k+1(k　は自然数　)と書けることであることを示せ．
(2)Sの要素の個数が奇数ならばSの要素(x,y,z)でy=zとなるものが存在することを示せ．

　私立 明治大学 2012年 第3問

円に内接する4角形ABCDについて，AB=a，BC=b，CD=c，AD=dとおくとき，次の問に答えよ．
(1)a2+b2=c2+d2であるための必要十分条件が，∠B=∠Dである事を証明せよ．
(2)a=\frac{√2}{3},b=\frac{√7}{3},c=\frac{√5}{3},d=2/3とするとき，cos(∠A-∠C)を求めよ．

　私立 明治大学 2012年 第2問

f(x)=x3-48x,g(x)=9x+k（kは定数）がある．以下の問に答えなさい．
(1)y=f(x)とy=g(x)のグラフが3つの異なる交点を持つ必要十分条件は|k|＜[ケ][コ]\sqrt{[サ][シ]}である．
(2)y=f(x)は，x=aのとき，極大値bをとる．また，g(a)=cとする．
log_{10}b-7log_{10}c+7=0が成立するのは，k=[ス][セ]のときである．このとき，y=f(x)とy=g(x)のグラフは，3つの異なる交点をもち，それらのx座標の値は，小さい順に並べると-[ソ],-[タ],\kak・・・

　私立 上智大学 2012年 第2問

aを実数とする．座標平面において，放物線Ca
Ca:y=-2x2+4ax-2a2+a+1
および放物線C
C:y=x2-2x
を考える．
(1)Caの頂点は常に直線y=[ク]x+[ケ]上にある．
(2)CaとCが共有点をもつための必要十分条件は，
\frac{[コ]}{[サ]}≦a≦[シ]
である．
(3)a=\frac{[コ]}{[サ]}のとき，CaとCの共有点はP([ス],[セ])である．
(4)a=[シ]のとき，CaとCの共有点・・・

　私立 上智大学 2012年 第2問

aを実数とし，放物線C:y=x2-2ax+4aを考える．
(1)Cが直線y=-6xと接するのは，a=[タ]またはa=[チ]のときである．ただし，[タ]＜[チ]とする．
(2)aがすべての実数を動くとき，Cの頂点の軌跡の方程式は
y=[ツ]x2+[テ]x+[ト]
である．
(3)Cが点(x,y)を通るようなaが存在するための必要十分条件は
\bigg(x[あ][ナ]\bigg)[い]\bigg(y[う][ニ]\bigg)
である．
・・・