「必要十分条件」について

　国立 鳴門教育大学 2011年 第2問

三角形ABCにおいて，3辺AB，BC，CAの長さが，それぞれn-1，n，n+1であるとする．ただし，nは4以上の整数である．頂点Aから辺BCに下ろした垂線の長さをdとする．
(1)dをnを用いて表せ．
(2)nが偶数であることは，dの2乗が整数であるための必要十分条件であることを証明せよ．

　国立 鳴門教育大学 2011年 第4問

a,bを実数とするとき，次のことを示せ．
(1)a,bの少なくとも1つが無理数であるための必要十分条件は，a+b，a-bの少なくとも1つが無理数となることである．
(2)a+b,abがともに有理数であることは，a,bがともに有理数であるための必要条件であるが，十分条件ではない．
(3)a+b,ab,a3-b3がすべて有理数であれば，a,bはともに有理数である．

　国立 東京海洋大学 2011年 第3問

三角形OABにおいて，次を証明せよ．
(1)ベクトルベクトルOA+tベクトルOBとベクトルベクトルOB+tベクトルOAの長さが等しくなるような±1以外の実数tが存在することはOA=OBであるための必要十分条件である．
(2)ベクトルベクトルOA+tベクトルOBとベクトルベクトルOB+tベクトルOAが垂直になるようなt＜-1である実数tが存在することは∠AOB＜90°であるための必要十分条件である．

　私立 早稲田大学 2011年 第5問

定数aに対してf(x)=ax2+3a，g(x)=2ax-a2とするとき，すべての実数xについてf(x)＞g(x)が成り立つための必要十分条件はa＞[チ]であり，少なくとも1つの実数xについてf(x)＞g(x)が成り立つための必要十分条件は，a＞[ツ]またはa＜[テ]である．

　私立 早稲田大学 2011年 第7問

平面上の点(x,y)で，(x/3)^{2n}+(y/2)^{2n}＜1を満たすような自然数nが存在するための必要十分条件は，[ヌ]＜x＜[ネ]かつ[ノ]＜y＜[ハ]である．

　私立 立教大学 2011年 第1問

次の空欄アに①～④のいずれかを記入せよ．また空欄イ～スに当てはまる数または式を記入せよ．
(1)実数x,yに対して，x2+y2≦1は「-1≦x≦1かつ-1≦y≦1」であるための何条件かを，①「必要条件」，②「十分条件」，③「必要十分条件」，④「必要条件でも十分条件でもない」のうちから選択すると，[ア]となる．
(2)3x2-xy-2y2-x+6y+kが，x,yの整数係数の1次式の積に因数分解されるとき，k=[イ]である．・・・

　私立 北海道文教大学 2011年 第2問

次の[1]，[2]に当てはまるものを下の（ア）～（エ）のうちからそれぞれ一つ選びなさい．
(1)x2+x-2=0はx=-2であるための[1]である．
(2)△ABCが正三角形であることは，△ABCが二等辺三角形であることの[2]である．
（ア）必要条件であるが，十分条件でない．
（イ）十分条件であるが，必要条件でない．
（ウ）必要十分条件である．
（エ）どちらでもない．

　私立 早稲田大学 2011年 第5問

定数aに対してf(x)=ax2+3a，g(x)=2ax-a2とするとき，すべての実数xについてf(x)＞g(x)が成り立つための必要十分条件はa＞[チ]であり，少なくとも1つの実数xについてf(x)＞g(x)が成り立つための必要十分条件は，a＞[ツ]またはa＜[テ]である．

　公立 首都大学東京 2011年 第1問

aを実数とする．関数f(x)=sinx+acos2x-1/4について，以下の問いに答えなさい．
(1)a=1とするとき，0≦x≦2πにおけるf(x)の増減と極値を調べて，y=f(x)のグラフをかきなさい．
(2)f(x)の極値をあたえるxが0＜x＜πの範囲に1個だけ存在するためのaについての必要十分条件を求めなさい．

　公立 広島市立大学 2011年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)3つのサイコロを同時にふるとき，出る目の最大値と最小値を考える．
\mon[(i)]最大値が3かつ最小値が2となる確率を求めよ．
\mon[(ii)]最大値と最小値の差が2以上となる確率を求めよ．
(2)a,b,cは正の数とする．(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)＞0であるための必要十分条件は，b+c＞aかつc+a＞bかつa+b＞cであることを証明せよ．