「必要条件」について

　国立 茨城大学 2011年 第2問

a,b,cは実数の定数で，a＞0,b≧0とする．実数x,yに関する条件p,q,rを次のように定める．
\begin{align}
&p:x2+y2≦1\nonumber\\
&q:(x-1/2)2+(y-1/2)2≦a2\nonumber\\
&r:y≦√bx+c\nonumber
\end{align}
以下の各問に答えよ．
(1)条件qが条件pであるための十分条件となるとき，aの値の範囲を求めよ．
(2)条件rが条件pであるための必要条件となるとき，b,cが満たす条件を求め，それをbc平面に図・・・

　国立 鳴門教育大学 2011年 第4問

a,bを実数とするとき，次のことを示せ．
(1)a,bの少なくとも1つが無理数であるための必要十分条件は，a+b，a-bの少なくとも1つが無理数となることである．
(2)a+b,abがともに有理数であることは，a,bがともに有理数であるための必要条件であるが，十分条件ではない．
(3)a+b,ab,a3-b3がすべて有理数であれば，a,bはともに有理数である．

　私立 立教大学 2011年 第1問

次の空欄アに①～④のいずれかを記入せよ．また空欄イ～スに当てはまる数または式を記入せよ．
(1)実数x,yに対して，x2+y2≦1は「-1≦x≦1かつ-1≦y≦1」であるための何条件かを，①「必要条件」，②「十分条件」，③「必要十分条件」，④「必要条件でも十分条件でもない」のうちから選択すると，[ア]となる．
(2)3x2-xy-2y2-x+6y+kが，x,yの整数係数の1次式の積に因数分解されるとき，k=[イ]である．・・・

　私立 北海道文教大学 2011年 第2問

次の[1]，[2]に当てはまるものを下の（ア）～（エ）のうちからそれぞれ一つ選びなさい．
(1)x2+x-2=0はx=-2であるための[1]である．
(2)△ABCが正三角形であることは，△ABCが二等辺三角形であることの[2]である．
（ア）必要条件であるが，十分条件でない．
（イ）十分条件であるが，必要条件でない．
（ウ）必要十分条件である．
（エ）どちらでもない．

　国立 岐阜大学 2010年 第1問

bとdで実数の定数を表す．次の条件(*)を考える．
(*)　すべての正の実数　x　に対して　\frac{x+b}{x3+1}＜\frac{x+2b+d}{x3+2}　である．　
以下の問に答えよ．
(1)b+d＞0は，(*)が成立するための必要条件であることを示せ．
(2)d＞0は，(*)が成立するための必要条件であることを示せ．
(3)dを任意の正の実数とする．(*)が成立するための必要十分条件として，bが満たすべき範囲をdを用いて表せ．

　国立 岐阜大学 2010年 第1問

bとdで実数の定数を表す．次の条件(*)を考える．
(*)　すべての正の実数　x　に対して　\frac{x+b}{x3+1}＜\frac{x+2b+d}{x3+2}　である．　
以下の問に答えよ．
(1)b+d＞0は，(*)が成立するための必要条件であることを示せ．
(2)d＞0は，(*)が成立するための必要条件であることを示せ．
(3)dを任意の正の実数とする．(*)が成立するための必要十分条件として，bが満たすべき範囲をdを用いて表せ．

　私立 早稲田大学 2010年 第4問

kは実数の定数とする．実数x,yに対して，次の条件P，Qを考える．\\
P:x≧0かつy≧0\\
Q:-kx+y≧0かつ14x-(k-5)y≧0\\
このとき，PがQの十分条件となるためのkの範囲は，k≦[コ]である．また，PがQの必要条件となるためのkの範囲は[サ]≦k≦[シ]である．

　私立 早稲田大学 2010年 第4問

kは実数の定数とする．実数x,yに対して，次の条件P，Qを考える．\\
P:x≧0かつy≧0\\
Q:-kx+y≧0かつ14x-(k-5)y≧0\\
このとき，PがQの十分条件となるためのkの範囲は，k≦[コ]である．また，PがQの必要条件となるためのkの範囲は[サ]≦k≦[シ]である．

　公立 滋賀県立大学 2010年 第3問

a,b,p,qを実数として，未知数xの方程式
p(x2+ax+b)+x-q=0・・・(*)
を考える．
(1)pがどのような値であっても方程式(*)がつねに実数解をもつためには，a2-4b≧0が必要条件であることを示せ．
(2)a2-4b≧0とし，α,β(α≦β)を方程式x2+ax+b=0の2つの実数解とする．このとき，pがどのような値であっても方程式(*)がつねに実数解をもつのはqがどのような範囲Rにあるときか答えよ．
(3)a2-4b≧0でqが(2)で・・・