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次の問いに答えよ．
(1)aを実数とするとき，(a,0)を通り，y=ex+1に接する直線がただ1つ存在することを示せ．
(2)a1=1として，n=1,2,・・・について，(an,0)を通り，y=ex+1に接する直線の接点のx座標をa_{n+1}とする．このとき，\lim_{n→∞}(a_{n+1}-an)を求めよ．
国立 新潟大学 2015年 第3問座標平面上の原点Oを中心とする半径1の円周C上の点をA(a,b)とし，f(x)=(x-a)2+bとする．点B(0,-2)から放物線y=f(x)に引いた接線をℓ1，ℓ2とし，接点をそれぞれP(p,f(p))，Q(q,f(q))とする．ただしp＜qである．放物線y=f(x)と2直線ℓ1，ℓ2とで囲まれた部分の面積をSとする．次の問いに答えよ．
(1)接線ℓ1の方程式と接点Pの座標，および接線ℓ2の方程式と接点Qの座標をa,bを用いて表せ．
(2)面積S・・・
国立 千葉大学 2015年 第3問双曲線x2-y2=1・・・①の漸近線y=x・・・②上の点P0:(a0,a0)（ただしa0＞0）を通る双曲線①の接線を考え，接点をQ1とする．Q1を通り漸近線②と垂直に交わる直線と，漸近線②との交点をP1:(a1,a1)とする．次にP1を通る双曲線①の接線の接点をQ2，Q2を通り漸近線②と垂直に交わる直線と，漸近線②との交点をP2:(a2,a2)とする．この手続きを繰り返して同様にして点P_・・・
国立 小樽商科大学 2015年 第2問曲線T:y=x3+6x2について，次の問いに答えよ．
(1)点(2,a)を通る曲線Tへの接線の本数Lを求めよ．ただしa＞0とする．
(2)このLが2本のとき，接点のx座標が小さい方の接線と，曲線Tで囲まれる部分の面積を求めよ．
国立 小樽商科大学 2015年 第3問次の[]の中を適当に補え．
(1)整数m≧2015に対し，
\frac{1}{22-1}+\frac{1}{42-1}+\frac{1}{62-1}+・・・+\frac{1}{{(2m)}2-1}=[ア]
(2)下図のような道に沿ってA地点からB地点まで進むとき，最短経路は何通りあるかを求めると[イ]通り．
（プレビューでは図は省略します）
(3)中心がA(1,0)にある半径r(0＜r＜1)の円に原点Oから2本の接線を引く．それぞれの接点と中心Aと原点Oを頂点とする四角形の面積の最大値Mとそのときのr・・・
国立 山梨大学 2015年 第3問座標平面上の放物線y=\frac{x2}{2}+5/2をCとし，aを2より小さい実数とする．点A(a,a)からCに引いた異なる2つの接線の接点を各々P(p,\frac{p2}{2}+5/2)，Q(q,\frac{q2}{2}+5/2)とする．ただし，p＜qとする．
(1)pおよびqをaを用いて表せ．
(2)θ=∠PAQ(0＜θ＜π/2)とするとき，tanθをaを用・・・ 国立 山梨大学 2015年 第5問点Oを原点とする座標平面上において，点P(-6,0)をとる．また，曲線
x=3cosθ,y=3sinθ(0≦θ≦π)
をC1とする．曲線C2,C3,・・・,Cn,・・・を次のように順次定義する．
「点Qが曲線Cn上を動くとき，線分PQを1:2に内分する点Rのなす曲線をC_{n+1}とする．」
また，各自然数nに対して，点Pを通るx軸と異なる直線が曲線Cnと接するとき，その接点をAnとする．次に，・・・
国立 千葉大学 2015年 第3問双曲線x2-y2=1・・・①の漸近線y=x・・・②上の点P0:(a0,a0)（ただしa0＞0）を通る双曲線①の接線を考え，接点をQ1とする．Q1を通り漸近線②と垂直に交わる直線と，漸近線②との交点をP1:(a1,a1)とする．次にP1を通る双曲線①の接線の接点をQ2，Q2を通り漸近線②と垂直に交わる直線と，漸近線②との交点をP2:(a2,a2)とする．この手続きを繰り返して同様にして点P_・・・
国立 千葉大学 2015年 第4問双曲線x2-y2=1・・・①の漸近線y=x・・・②上の点P0:(a0,a0)（ただしa0＞0）を通る双曲線①の接線を考え，接点をQ1とする．Q1を通り漸近線②と垂直に交わる直線と，漸近線②との交点をP1:(a1,a1)とする．次にP1を通る双曲線①の接線の接点をQ2，Q2を通り漸近線②と垂直に交わる直線と，漸近線②との交点をP2:(a2,a2)とする．この手続きを繰り返して同様にして点P_・・・
国立 千葉大学 2015年 第5問cを実数とし，曲線y=x2+c・・・①と曲線y=logx・・・②の共通接線を考える．
(1)共通接線の本数を，実数cの値によって答えよ．
(2)共通接線が1本であるとき，その接線と①，②それぞれとの接点を求めよ．
(3)共通接線が1本であるとき，①，②とx軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
