「接点」について

　私立 北里大学 2013年 第2問

f(x)=x3-x2+12とおく．原点を通り，曲線y=f(x)に接する直線をℓとする．
(1)直線ℓの方程式を求めよ．
(2)曲線y=f(x)と直線ℓとの接点以外の共有点の座標を求めよ．
(3)曲線y=f(x)と直線ℓとの共有点をP(a,f(a))，Q(b,f(b))(a＜b)とする．曲線y=f(x)上の点R(c,f(c))がa＜c＜bを満たしながら動くとき，三角形PQRの面積が最大となるようなcの値を求めよ．

　私立 星薬科大学 2013年 第3問

xy平面上に2つの円C1:x2+(y-3)2=4，C2:(x-4)2+y2=9がある．次の問に答えよ．
(1)C1とC2の接点の座標は(\frac{[]}{[]},\frac{[]}{[]})である．
(2)原点を中心とし，C1とC2の両方に接する円をC3とすると，C3の半径は[]である．
(3)C1,C2,C3が接する3つの接点を通り，軸がy軸と平行な放物線の頂点の座標は
(\frac{[]}{[][]},-\frac{[]}{[][]}・・・

　私立 同志社大学 2013年 第4問

kは定数とし，媒介変数tを用いてx=2sin3t，y=kcos3t(0≦t≦π/2)と表される曲線Sを考える．次の問いに答えよ．
(1)dy/dxをk,tを用いて表せ．ただし0＜t＜π/2とする．
(2)曲線Sが直線x+y=1に第1象限で接しているとき，接点の座標を(p,q)とする．p,q,kの値を求めよ．また，そのときのtの値t0を求めよ．
(3)(2)で定まるt0に対し，∫0^{t0}cos・・・

　私立 久留米大学 2013年 第1問

2つの曲線y=2x2-2とy=2x2-4x+2が共通の接線をもつとき，接線の方程式はy=[1]，2つの接点のy座標は[2]であり，2つの曲線と接線とで囲まれた部分の面積は[3]となる．

　公立 首都大学東京 2013年 第4問

aは0でない定数とし，bとcを定数とする．kがすべての実数を動くとき，xy平面上の直線ℓ:y=kx+k2+3k+1はつねに放物線C:y=ax2+bx+cに接するものとする．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)a,b,cの値を求めなさい．
(2)直線ℓと放物線Cの接点をPとするとき，原点Oと点Pを結ぶ線分OPの中点Q(s,t)の軌跡の方程式を求めなさい．

　公立 広島市立大学 2013年 第4問

曲線y=e^{2x}をCとする．Cの接線で原点を通るものをℓ1とし，Cとℓ1の接点PにおけるCの法線をℓ2とする．以下の問いに答えよ．
(1)直線ℓ1の方程式，および点Pの座標を求めよ．
(2)直線ℓ2の方程式，および直線ℓ2とy軸の交点Qの座標を求めよ．
(3)次の問いに答えよ．
(i)部分積分法を用いて不定積分∫logxdx，∫(logx)2dxを求めよ．
(ii)曲線・・・

　国立 九州大学 2012年 第2問

関数f(x)=x3+3x2+x-1を考える．曲線C:y=f(x)について，以下の問いに答えよ．
(1)t≧0のとき，曲線Cは傾きがtである接線を2本持つことを示せ．
(2)(1)において，傾きがtである2本の接線と曲線Cとの接点を，それぞれP(p,f(p))，Q(q,f(q))とする(ただしp＜q)．このとき，点Pと点Qは点A(-1,0)に関して対称の位置にあることを示せ．
(3)t≧0のとき，2点P，Qの間の距離の最小値を求めよ．また，最小値を与えるときのP，Qのx座標p,qもそれぞれ求めよ．

　国立 信州大学 2012年 第1問

座標平面上に，だ円C:2x2+y2=1と点P(t,√2t)(t＞0)がある．点PがCの外側にあるとして，PからCへ接線を2本ひく．2つの接点を　T　1,　T　2とおき，θ=∠　T　1　PT　2とおく．次の問に答えよ．
(1)t=\frac{1}{√2}のとき，θを求めよ．
(2)2つの接線の傾きをm1,m2とするとき，m1+m2,m1m2をtで表せ．
(3)cosθをtで表せ．

　国立 千葉大学 2012年 第6問

1より小さい正の実数aに対して
　円　C(a):(x+a-1)2+(y+a-1)2=2a2
と定める．その上で，数列{an}を以下の方法によって定める．
\mon[(i)]n=1のときは，円C(a)がx軸と接するような定数aの値をa1とする．さらに，円C(a1)とx軸との接点をP1とし，円C(a1)の中心をQ1とおく．
\mon[(ii)]n≧2のときは，円C(a)が直線P_{n-1}Q_{n-1}と接するような定数aの値をanとする．さらに，円C(an)と直線P_{n-1}Q_{n-1}との接点をPnとし，円C(an)の中心をQn・・・

　国立 香川大学 2012年 第2問

C1を，中心が(1,1)，半径が1の円とする．円C2,C3,C4,・・・を次のように定める．
円Cnは，x軸，y軸および円C_{n-1}に接し，円Cnの半径rnは，円C_{n-1}の半径r_{n-1}よりも小さいものとする．
このとき，次の問に答えよ．
(1)Oを原点とし，n=2,3,4,・・・に対してPnをCnとC_{n-1}の接点とするとき，OPnの長さをrnで表せ．
(2)rnとr_{n-1}の関係式を求め，数列{rn}が等比数列であることを示せ．
(3)円C・・・