「接点」について

　私立 慶應義塾大学 2012年 第1問

半径1の球が平面の上に接している．平面との接点をOとし，Oを球の南極点とみなしたときの球の北極点をNとする．平面上に点AをOA=3となるようにとる．また点BをOB=4であり，直線OAと直線OBが直交するようにとる．\\
点Nと平面上の点Pを結ぶ直線が球面と交わる2点の内，Nと異なる点をP^{\prime}とする．このときNとA^{\prime}，B^{\prime}の距離はそれぞれ
NA^{\prime}=\frac{\kakkotwo{・・・

　私立 慶應義塾大学 2012年 第4問

曲線上の点Pを通り，Pにおけるこの曲線の接線ℓと直交する直線mをこの曲線の法線とよぶ．a,b＞0とし，2次曲線x2=4a(y+b)の法線が(0,2a)を通るとき，接点P(p,q)は
p2=[(41)]ab,q=[(42)]
をみたす．したがって条件をみたす接線と法線の組(ℓ,m)は2組ある．この4本の直線で囲まれる4角形Sの面積は[(43)][(44)](a+b)\sqrt{ab}である．また2本の法線と2次曲線で囲まれる部分でSに含まれる部分の面積は
(\frac{\kakkotwo{(45)}{・・・

　私立 上智大学 2012年 第2問

直線y=x-1上の点A(a,a-1)を通り，放物線y=x2に接する直線を，ℓ,mとする．ただし，ℓの方がmよりも傾きが大きいものとする．
(1)直線ℓの傾きをaで表すと
[キ](a+\sqrt{a2+[ク]a+[ケ]})
である．
(2)直線ℓ,mと放物線y=x2との接点をそれぞれP，Qとする，線分PQと放物線y=x2で囲まれた部分の面積Sをaで表すと，
S=\frac{[コ]}{[サ]}(a2+[シ]a+[ス])^{\frac{・・・

　私立 東京理科大学 2012年 第2問

自然数nに対して，3次曲線Cn:y=x(x-n)(x-n-1)を考え，原点Oを通るCnの接線で，接点が原点以外のものをℓnとする．また，Cnの原点における接線とCnで囲まれる部分の面積をSnとし，ℓnとCnで囲まれる部分の面積をTnとする．次の問いに答えよ．
(1)ℓnの方程式を求めよ．
(2)Sn,Tnを求め，さらに，\frac{Tn}{Sn}を求めよ．
(3)ℓ1と平行なC1の接線で，ℓ1と異なるものをℓ´とする．ℓ´の方程式を求めよ．
\mon・・・

　私立 明治大学 2012年 第4問

次の空欄[ア]から[ク]に当てはまるものをそれぞれ答えよ．
放物線C1:y=\frac{x2}{8}+4と楕円C2:x2+\frac{y2}{4}=2を考える．
C1上の点(4a,2a2+4)での接線の方程式は
y=[ア]x-[イ]
である．C1上の点(4a,2a2+4)における接線が同時にC2の接線でもあるようなaの値は全部で4個ある．それらを小さい方から順にa1,a2,a3,a4とすれば，a1=[ウ],a2=[エ]である．C2の囲む図形・・・

　私立 立教大学 2012年 第3問

座標平面上に点P(s,t)がある．ただし，t＜0である．点Pから放物線C:y=1/2x2に引いた2本の異なる接線の接点をA，Bとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)点A，Bのx座標をそれぞれα,βとするとき，α+βをsを用いて表せ．ただし，α＜βとする．
(2)2点A，Bを通る直線ℓの式をsとtを用いて表せ．
(3)直線ℓと放物線Cで囲まれる部分の面積をSとするとき，Sを・・・

　私立 南山大学 2012年 第2問

2つの曲線C1:y=-x2+10とC2:y=1/2x2-6x+kがある．ただし，kは実数とする．C1，C2はそれぞれ直線ℓに接し，C1とℓの接点のx座標をa，C2とℓの接点のx座標をbとする．
(1)ℓの方程式を，aを用いて表せ．
(2)kをaで表せ．
(3)b＞0であり，C2とy軸およびℓで囲まれた図形の面積が9/2であるとき，aの値を求めよ．

　私立 西南学院大学 2012年 第3問

原点をOとし，下図のように3つの円C1，C2，C3が互いに接している．C2の中心をO2，C1とC2の接点をP，C2とC3の接点をQ，C3とC1の接点をRとする．C1とC2の方程式が
C1:x2+y2=(\frac{√3-1}{2})2,C2:x2+(y-√3)2=(\frac{√3+1}{2})2
であるとき，以下の問に答えよ．
（プレビューでは図は省略します）
(1)C3:(x-[シ])2+y2=(\frac{[ス]-\sqrt{\kakko{・・・

　私立 中央大学 2012年 第3問

f(x)=x2+x+1とおく．曲線y=f(x)に原点から引いた接線の方程式をy=mx，y=m´x(m＜m´)とおく．また，それぞれの接点のx座標をc,c´とおく．このとき，c＜0＜c´である．実数aに対して連立不等式
y≦f(x),y≧mx,y≧m´x,a≦x≦a+1
の表す領域の面積をS(a)で表す．このとき，次の問に答えよ．
(1)定数m,m´,c,c´を求めよ．
(2)0＜a≦c´のとき，S(a)を求めよ．
(3)c≦a≦・・・

　私立 東京理科大学 2012年 第1問

a,bを実数として，xの4次関数f(x)=x4-ax2+bxを考える．次の問いに答えよ．
(1)s,tを異なる実数とする．曲線y=f(x)の，x=sにおける接線の傾きと，x=tにおける接線の傾きが等しいとき，aをsとtを用いて表せ．
(2)曲線y=f(x)が異なる2点で共通の接線ℓをもつとし，その接点のx座標の一つをsとする．
(i)aをsを用いて表せ．
(ii)ℓの方程式を，aとbを用いて表せ．
(3)関数f(x)が極大値をもつための・・・