「接点」について

　国立 静岡大学 2011年 第3問

座標平面上に点P(0,0)，M(√3,1)をとる．点Mを中心とし，x軸に接するように円を描き，接点をAとおく．Pより円にもう1本の接線を引き接点をBとする．円に2線分PAとPBをつけ加えた図形をx軸に接したまますべることなくx軸の正の方向にころがし，線分PBがx軸に重なるまで移動させる．次の問いに答えよ．
(1)移動中の円の中心の座標を(√3+t,1)とする．tの取りうる値の範囲を求めよ．
(2)点Pの軌跡をCとする．Cとx軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

　国立 岡山大学 2011年 第4問

pを定数とする．
f(x)=x3+x2+px+1
とおく．y=f(x)のグラフに傾き1の2つの異なる接線が引けるという．このとき，次の問いに答えよ．
(1)pの範囲を求めよ．
(2)2つの接点のx座標をα,βとする．(α-β)2をpを用いて表せ．
(3)2つの接線のy軸との交点をA，Bとするとき，線分ABの長さをpを用いて表せ．
(4)2つの接線の間の距離が8/27となるようなpの値を求めよ．

　国立 大阪大学 2011年 第3問

実数の組(p,q)に対し，f(x)=(x-p)2+qとおく．
(1)放物線y=f(x)が点(0,1)を通り，しかも直線y=xのx＞0の部分と接するような実数の組(p,q)と接点の座標を求めよ．
(2)実数の組(p1,q1)，(p2,q2)に対して，f1(x)=(x-p1)2+q1およびf2(x)=(x-p2)2+q2とおく．実数α,β(ただしα＜β)に対して
f1(α)＜f2(α)　かつ　f1(β)＜f2(β)
であるならば，区間α≦x≦βにおいて不・・・

　国立 静岡大学 2011年 第3問

座標平面上に点P(0,0)，M(√3,1)をとる．点Mを中心とし，x軸に接するように円を描き，接点をAとおく．Pより円にもう1本の接線を引き接点をBとする．円に2線分PAとPBをつけ加えた図形をx軸に接したまますべることなくx軸の正の方向にころがし，線分PBがx軸に重なるまで移動させる．次の問いに答えよ．
(1)移動中の円の中心の座標を(√3+t,1)とする．tの取りうる値の範囲を求めよ．
(2)点Pの軌跡をCとする．曲線Cの接線ℓの傾きが\frac{√3}{2}のとき，直線・・・

　国立 鳥取大学 2011年 第3問

曲線C:y=logx(x＞0)について，次の問いに答えよ．ただし，logxはxの自然対数である．
(1)不定積分∫logxdxを求めよ．
(2)原点から曲線Cに引いた接線ℓの方程式および接点の座標を求めよ．
(3)曲線Cと(2)で求めた接線ℓおよびx軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)曲線Cと(2)で求めた接線ℓおよびx軸とで囲まれた部分をx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 鳥取大学 2011年 第3問

曲線C:y=logx(x＞0)について，次の問いに答えよ．ただし，logxはxの自然対数である．
(1)不定積分∫logxdxを求めよ．
(2)原点から曲線Cに引いた接線ℓの方程式および接点の座標を求めよ．
(3)曲線Cと(2)で求めた接線ℓおよびx軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)曲線Cと(2)で求めた接線ℓおよびx軸とで囲まれた部分をx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 大分大学 2011年 第2問

直線ℓ1:y=mx+3(m＞0)が，点A(5,3)を中心とする円C1に接している．その接点をPとする．直線ℓ1とy軸との交点をQ，2点A，Pを通る直線ℓ2とx軸との交点をRとする．
(1)円C1の半径rをmを用いて表しなさい．
(2)円C1がx軸と異なる2点で交わるようなmの値の範囲を求めなさい．
(3)線分QRの中点Sの座標を求めなさい．
(4)3点P，Q，Rを通る円C2の中心と円C1の中心との距離をdとする．dの最小値とそのときのmの値を求めなさい．

　国立 愛知教育大学 2011年 第4問

原点から曲線C:y=e^{2x}へひいた接線とCとの接点をP(a,b)とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)点Pの座標(a,b)を求めよ．
(2)点(0,1)から点Pまで曲線Cに沿って点Qが動く．Cの点Qにおける接線をℓ，点Pからx軸に下ろした垂線とℓとの交点をHとし，Qのx座標をtとする．0≦x≦aの範囲で曲線Cより下，かつ，直線ℓより上の部分の面積をS(t)とするとき，0＜t＜aにおけるS(t)の最小値と，そのときのtの値を求めよ．

　国立 大分大学 2011年 第4問

直線ℓ1:y=mx+3(m＞0)が，点A(5,3)を中心とする円C1に接している．その接点をPとする．直線ℓ1とy軸との交点をQ，2点A，Pを通る直線ℓ2とx軸との交点をRとする．
(1)円C1の半径rをmを用いて表しなさい．
(2)円C1がx軸と異なる2点で交わるようなmの値の範囲を求めなさい．
(3)線分QRの中点Sの座標を求めなさい．
(4)3点P，Q，Rを通る円C2の中心と円C1の中心との距離をdとする．dの最小値とそのときのmの値を求めなさい．

　国立 群馬大学 2011年 第3問

直線ℓ:y=1/2x-1/4上の点Pから曲線y=x2にひいた2接線の接点をQ，Rとし，θ=∠　QPR　とするとき，次の問いに答えよ．
(1)Pのx座標をtとしPをℓ上動かす．t≠0のとき，tanθをtの関数として表せ．
(2)θの最大値を求め，このときの点Pの座標を求めよ．