「接点」について

　国立 宮崎大学 2011年 第2問

座標平面上において，点A(0,1)を中心とし原点Oを通る円C1について，点B(0,-1)から引いた2本の接線の接点をP，Qとする．ただし，点Pのx座標は正とする．さらに，y軸に関して対称な放物線C2が直線BPと直線BQにそれぞれ点Pと点Qで接するものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)2点P，Qの座標を求めよ．
(2)放物線C2を表す方程式を求めよ．
(3)点Aから放物線C2上の各点までの距離は1以上であることを示せ．
(4)円C1の原点Oを含む弧PQと放物線C2で囲まれる部分の面積Sを求めよ．
\e・・・

　国立 東京農工大学 2011年 第1問

座標平面上に放物線y=x2-2x+3と点A(2,t)(t＜3)がある．この放物線に点Aから引いた2本の接線の接点をそれぞれP，Qとする．ただし，x座標の大きな方をPとする．また，2点P，Qを通る直線とy軸との交点をRとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)点Pのx座標をtの式で表せ．
(2)点Rのy座標をtの式で表せ．
(3)ベクトルベクトルAPとベクトルAQが垂直になるようなtの値をt0とする．t0を求めよ．
(4)t=t0のときのA，P，Q，Rについて，ベクトルAR=αベクトルAP+βベクトルAQと表・・・

　国立 室蘭工業大学 2011年 第1問

xの2次関数f(x)が条件f(0)=3，f´(0)=-2，f´(3)=4を満たすとする．
(1)f(x)を求めよ．
(2)曲線y=f(x)に点(3/2,0)から2本の接線を引いたとき，それぞれについて接線の方程式および接点の座標を求めよ．
(3)曲線y=f(x)および(2)で求めた2本の接線で囲まれた部分の面積を求めよ．

　国立 防衛大学校 2011年 第2問

放物線C:y=x2と直線L:y=x-1がある．L上の点A(a,a-1)からCに引いた2本の接線の接点をP，Qとし，P，Qのx座標をそれぞれα,β(α＜β)とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)C上の点(t,t2)における接線の方程式をy=mx+kとするとき，m,kをtの式で表せ．
(2)α+βおよびαβをaの式で表せ．
(3)放物線Cと2本の接線で囲まれた図形の面積をS(a)とするとき，\frac{S(a)}{β-α・・・

　国立 大分大学 2011年 第2問

直線ℓ1:y=mx+3(m＞0)が，点A(5,3)を中心とする円C1に接している．その接点をPとする．直線ℓ1とy軸との交点をQ，2点A，Pを通る直線ℓ2とx軸との交点をRとする．
(1)円C1の半径rをmを用いて表しなさい．
(2)円C1がx軸と異なる2点で交わるようなmの値の範囲を求めなさい．
(3)線分QRの中点Sの座標を求めなさい．
(4)3点P，Q，Rを通る円C2の中心と円C1の中心との距離・・・

　私立 自治医科大学 2011年 第23問

曲線C:y=2x3-9x2-60x+140，直線L:y=k（kは実数）について考える．曲線Cと直線Lは，k=aおよびk=b（a＜b）（a,bともに実数）のとき，それぞれ，1点で接し，その接点とは異なる1点で，交わるものとする．|b/16+a/27|の値を求めよ．

　私立 明治大学 2011年 第4問

次の空欄[ア]から[ス]に当てはまるものを入れよ．ただし連続した空欄[シス]は2桁の数字をあらわす．
aを正の定数とする．2点A(0,a)，B(t,t2)の間の距離をL(t)とする．L(t)はa≦1/2の場合はt=[ア]で最小値[イ]をとり，a＞1/2の場合は|t|=[ウ]のとき最小値[エ]をとる．
A(0,a)を中心とする半径1の円C1と放物線C2:y=x2が2点で接している・・・

　私立 立教大学 2011年 第3問

関数y=-x2+2x+2のグラフに点A(0,a)から2本の異なる接線が引けるとき，次の問に答えよ．
(1)点Aのy座標aが満たす条件を求めよ．
(2)点Aを通る2本の接線の式と接点の座標をaを用いて表せ．
(3)2本の接線が直交するときのaの値を求めよ．
(4)点Aを通る2本の接線と放物線で囲まれる図形をy軸で2つに分割したとき，右側の図形の面積をSとする．(3)で求めたaの値に対してSの面積を求めよ．

　私立 関西大学 2011年 第2問

点(a,b)(a＞0,b＞0)を中心とする円Cが直線y=2xに点Pで接するとする．次の問いに答えよ．
(1)接点Pの座標をa,bを用いて表せ．
(2)円Cがさらにy=xにも接するとする．bをaを用いて表せ．

　私立 久留米大学 2011年 第5問

y=|2x-1|のグラフと2点で接する半径3の円の中心座標は[11]であり，2つの接点の座標は[12]と[13]である．