「接点」について

　国立 福井大学 2010年 第4問

kを実数とする．Oを原点とする座標平面上の曲線C:y=logx-kについて，Cの接線のうちOを通るものをℓ1とし，その接点をPとする．以下の問いに答えよ．
(1)ℓ1の方程式を，kを用いて表せ．
(2)点PにおけるCの法線をℓ2とし，ℓ2とx軸との交点のx座標をαとおく．αをkを用いて表せ．さらに，αが最小となるkの値およびαの最小値を求めよ．
(3)kを(2)で求めた値とするとき，Cとℓ1およびx軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

　国立 お茶の水女子大学 2010年 第2問

xy平面上に2つの円
\begin{align}
&C1:x2+y2=16\nonumber\\
&C2:(x-6)2+y2=1\nonumber
\end{align}
がある．このとき以下の問いに答えよ．
(1)C1上の点(a,b)を接点とする接線の方程式を求めよ．
(2)C1とC2の両方に接する接線の方程式をすべて求めよ．
(3)点Pを通る任意の直線がC1またはC2の少なくとも一方と共有点を持つとする．このような点Pの存在する領域を図示せよ．

　国立 山形大学 2010年 第2問

xy平面上に直線ℓ:y=x+2と曲線C:y=1-x2がある．直線ℓ上を動く点Pから曲線Cに異なる2本の接線を引き，接点をQ，Rとする．線分QRの中点をMとするとき，次の問いに答えよ．
(1)点Pのx座標をtとし，2点Q，Rのx座標をそれぞれα,βとするとき，α+β=2tおよびαβ=-(t+1)を示せ．
(2)点Mの軌跡は曲線y=-2x2-xであることを示せ．
(3)点Mの軌跡とx軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

　国立 秋田大学 2010年 第3問

xy平面上の放物線C:y=x2-3xと，点P(1,-6)に対して，次の問いに答えよ．
(1)Pを通って放物線Cに接する直線の方程式を求めよ．
(2)放物線Cと(1)の直線との接点のうちx座標が負のものをQ，正のものをRとする．Sは直線QR上にありQと異なる点とする．Sのx座標をtとし，P，Q，Sの3点を通る円の方程式をx2+y2+lx+my+n=0とするとき，l,m,nをそれぞれtの式で表せ．
(3)(2)の円の中心の軌跡を求めよ．さらに，(2)の円の半径が最小となるtの値を求めよ．

　国立 鹿児島大学 2010年 第2問

次の各問いに答えよ．
(1)直線ℓ:y=ax+bが原点を中心とする半径1の円と点(\frac{√3}{2},-1/2)で接しているとする．また，直線ℓは放物線C:y=x2-√3x+cとも接しているとする．このとき，次の各問いに答えよ．
\mon[(a)]定数a,bの値を求めよ．
\mon[(b)]放物線Cと直線ℓとの接点の座標および定数cの値を求めよ．
\mon[(c)]放物線Cと直線ℓおよびy軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)0\le・・・

　国立 鹿児島大学 2010年 第2問

次の各問いに答えよ．
(1)直線ℓ:y=ax+bが原点を中心とする半径1の円と点(\frac{√3}{2},-1/2)で接しているとする．また，直線ℓは放物線C:y=x2-√3x+cとも接しているとする．このとき，次の各問いに答えよ．
\mon[(a)]定数a,bの値を求めよ．
\mon[(b)]放物線Cと直線ℓとの接点の座標および定数cの値を求めよ．
\mon[(c)]放物線Cと直線ℓおよびy軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)0≦・・・

　国立 愛知教育大学 2010年 第5問

直線y=\frac{5-x}{4}上の点P(p,\frac{5-p}{4})(p＞1)から曲線C:y=1-x2へ2本の接線ℓ1,ℓ2を引くことができる．
(1)ℓ1とCとの接点をA，ℓ2とCとの接点をBとし，それぞれのx座標をα,β(α＜β)とする．β-αをpの式で表せ．
(2)∠APB=θとする．tanθをpの式で表せ．ただし0≦θ≦πとする．
(3)点Pがp＞1の範囲を動くと・・・

　国立 鹿児島大学 2010年 第3問

次の各問いに答えよ．
(1)直線ℓ:y=ax+bが原点を中心とする半径1の円と点(\frac{√3}{2},-1/2)で接しているとする．また，直線ℓは放物線C:y=x2-√3x+cとも接しているとする．このとき，次の各問いに答えよ．
\mon[(a)]定数a,bの値を求めよ．
\mon[(b)]放物線Cと直線ℓとの接点の座標および定数cの値を求めよ．
\mon[(c)]放物線Cと直線ℓおよびy軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)0≦・・・

　国立 小樽商科大学 2010年 第3問

次の[]の中を適当に補いなさい．
(1)4cos15°(1-sin215°-sin15°)-3(sin15°+1)cos15°=[]．
(2)100人の学生を対象に100点満点の試験を行った結果，平均点が75点，最高点が95点，最低点が25点であった．平均点以上の学生数をMとし，Mの最小値を求めると[]．ただし，点数は全て自然数とする．
(3)関数y=x3-3xのグラフに，直線y=-1上のある点から傾きがそれぞれk,-k(k＞0)の2本の接線が引けるとき，その2本の接線の接点のx座標をα,β・・・

　国立 帯広畜産大学 2010年 第2問

関数f(t)=sin2t+2xcostのtに関する最大値M(x)をxの関数とする．
(1)-1＜x＜1のとき，M(x)をxを用いて表し，曲線y=M(x)の概形を描きなさい．
(2)曲線y=G(x)=3x2とy=M(x)で囲まれる図形の面積を求めなさい．
(3)直線y=x-2上の点Qから，曲線y=G(x)に引いた2本の接線L1,L2の接点のx座標をそれぞれa,bとする．点Qの座標をa,bを用いて表しなさい．
(4)2本の接線L1,L2と曲線y=G(x)で囲まれる図形の面積の最小値を求めなさい．