「接点」について

　国立 宮城教育大学 2010年 第3問

関数y=x3-3x2+3について，次の問いに答えよ．
(1)この関数のグラフに点(3,-1)から接線を引く．このとき，すべての接点の座標を求めよ．
(2)(1)で求めた接点のうち，そのx座標が最小のものをA，最大のものをBとする．2点A,Bを通る直線の方程式を求めよ．
(3)この関数のグラフ上の点をP(s,s3-3s2+3)とする．ただし，2-√3＜s＜2+√3である．このとき，点Pと(2)で求めた直線との距離dをsで表し，dの最大値を求めよ．

　私立 早稲田大学 2010年 第2問

aは定数で，a＞1とする．座標平面において，
円C:x2+y2=1
直線ℓ:x=a
とする．
ℓ上の点Pを通り円Cに接する2本の接線の接点をそれぞれA，Bとするとき，直線ABは，点Pによらず，ある定点を通ることを示し，その定点の座標を求めよ．

　私立 早稲田大学 2010年 第3問

tを実数とする．2つの放物線
y=x2+1\qquad・・・・・・①
y=-(x-t)2+t\qquad・・・・・・②
の両方に接する2本の直線をℓ1,ℓ2とし，ℓ1とℓ2の交点をP，ℓ1と①の接点をA(α,α2+1)，ℓ2と①の接点をB(β,β2+1)とする．次の設問に答えよ．
(1)Pの座標をα,βを用いて表せ．
(2)三角形APBの面積をS(t)とする・・・

　私立 金沢工業大学 2010年 第5問

放物線y=x2-5xに直線y=x+aが接しているとする．ただし，aは定数とする．
(1)a=[アイ]であり，接点の座標は([ウ],[エオ])である．
(2)この放物線と直線，およびy軸で囲まれた図形の面積は[カ]である．

　私立 南山大学 2010年 第2問

a＞0のとき，座標平面上に曲線C:y=x2-xと点A(a,-3a2-a)を考える．Aを通る2つのCの接線をℓ1，ℓ2とする．ただし，接点のx座標が小さい方をℓ1とする．
(1)座標平面上にCのグラフをかき，Cとx軸で囲まれた部分の面積S1を求めよ．
(2)ℓ1,ℓ2の方程式を求めよ．
(3)Cとℓ1および直線x=aで囲まれた部分の面積S2を求めよ．
(4)(1)のS1と(3)のS2が等しくなるようなaの値を求めよ．

　私立 藤田保健衛生大学 2010年 第3問

楕円A:\frac{x2}{4}+y2=1を原点を中心に反時計回りにπ/3回転させて得た楕円をBとする．この回転により，点(-√3,1/2)を接点とするAの接線y=[]は，Bに対する接線y=[]に移される．

　私立 北海道文教大学 2010年 第5問

下の図のように円Oに内接するAC=BCである二等辺三角形がある．直線BOと，Cを接点とする直線およびACとの交点をそれぞれD，Eとする．∠ACB=30°のとき，∠BDCを求めなさい．
（プレビューでは図は省略します）

　私立 星薬科大学 2010年 第2問

下図のように，AB=5，BC=7，CA=4の△ABCに内接する円をO，その接点をD，E，Fとするとき，△ABCの面積は[]\sqrt{[]}，円Oの半径は\frac{\sqrt{[]}}{[]}，△DEFの面積は\frac{[]\sqrt{[]}}{[]}である．
（プレビューでは図は省略します）

　私立 東京電機大学 2010年 第3問

正の定数kに対して，曲線C:y=\frac{x3}{3}の接線で傾きがk2のものをℓ1,ℓ2とする．Cとℓ1,ℓ2の接点P，Qはそれぞれ，第1，第3象限にあるとする．また，Cとℓ1との共有点のうち，PでないものをRとする．次の問に答えよ．
(1)P，Q，Rの座標をkで表せ．
(2)線分QRとCで囲まれた図形の面積Tをkで表せ．
(3)(2)で求めたTが，T＜1をみたすようなkの値の範囲を求めよ．

　私立 中央大学 2010年 第3問

関数
f(x)=5/8x2+|x|(1/2+3/8x)
に対し，xy平面上のグラフC:y=f(x)を考える．aを正の実数とし，y軸上の点P(0,-a2)からCに2本の接線ℓ1，ℓ2を引く．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)Cとℓ1の接点をS(s,f(s))とする．s＜0のとき，aを用いてsを表せ．
(2)Cとℓ2の接点をT(t,f(t))とする．t＞0のとき，aを用いてtを表せ．
(3)ℓ1とℓ2が直交するようなaの値を求めよ．
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