「接点」について

　国立 千葉大学 2015年 第5問

cを実数とし，曲線y=x2+c・・・①と曲線y=logx・・・②の共通接線を考える．
(1)共通接線の本数を，実数cの値によって答えよ．
(2)共通接線が1本であるとき，その接線と①，②それぞれとの接点を求めよ．
(3)共通接線が1本であるとき，①，②とx軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

　国立 和歌山大学 2015年 第4問

放物線C:y=1/4x2と点P(0,-4)がある．直線ℓ,m,nと点Qを以下のように定める．
直線ℓは，PからCに引いた接線のうち，傾きが正のものとし，その接点をQとする．
直線mは，Qを通り，ℓに垂直なものとする．
直線nは，mとCのQ以外の交点を通り，y軸に平行なものとする．
次の問いに答えよ．
(1)接線ℓの方程式と点Qの座標を求めよ．
(2)直線m・・・

　国立 和歌山大学 2015年 第5問

点P(3,2)から楕円C:\frac{x2}{3}+\frac{y2}{4}=1に2本の接線ℓ1,ℓ2を引き，それぞれの接点の座標を(a,b)，(c,d)とする．ただし，a＜cとする．次の問いに答えよ．
(1)接点の座標(a,b)，(c,d)を求めよ．
(2)Cのx≧0の部分を曲線C0とするとき，C0とℓ1およびℓ2で囲まれた部分の面積Sを求めよ．

　私立 立教大学 2015年 第3問

tを正の実数とする．放物線C1:y=x2+1と放物線C2:y=-tx2-1の両方に接する直線のうち傾きが正であるものをℓとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)直線ℓの方程式をtを用いて表せ．
(2)直線ℓと放物線C1の接点をP，直線ℓと放物線C2の接点をQとする．点Pと点Qの座標をそれぞれtを用いて表せ．
(3)線分PQをt:1に内分する点Rの座標をtを用いて表せ．
(4)点Rのy座標がとりうる値の範囲を求めよ．

　私立 立教大学 2015年 第1問

次の空欄[ア]～[シ]に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)式(2x+3y+z)(x+2y+3z)(3x+y+2z)を展開したときのxyzの係数は[ア]である．
(2)実数x,yが\frac{i}{1+xi}+\frac{x+2}{y+i}=0を満たすとき，x=[イ]，y=[ウ]である．ただし，iは虚数単位とする．
(3)定積分∫_{-2}2x|x-1|dxを求めると[エ]である．
(4)2^{1/2},3^{1/3},5^{1/5}の大小関係は[オ]＜[カ]＜\kakk・・・

　私立 東京理科大学 2015年 第2問

tを0＜t＜1を満たす実数として，関数f(x)を
f(x)=-x2+(1+t2)x-t2
と定める．座標平面において，原点Oから放物線y=f(x)へ引いた接線のうち，接点のx座標が正のものを考える．その接点をP(p,f(p))とおく．
(1)点Pの座標をtを用いて表せ．
(2)放物線y=f(x)のx≦pの部分，x軸，直線x=pで囲まれる図形の面積をS1とする．S1をtを用いて表せ．
(3)線分OP，x軸，直線x=pで囲まれる図形の面積をS2とし，(2)のS1に対してS=S2-S1とお・・・

　私立 東京理科大学 2015年 第2問

a＞0を定数とし，座標平面上の点P(p,0)から放物線C:y=ax2+2aに2本の接線PQ1，PQ2を引く．ここでQ1，Q2は接点で，Q1のx座標q1はQ2のx座標q2より小さいとする．
(1)q1とq2を，pを用いて表せ．
(2)直線Q1Q2の方程式を，aとpを用いて表せ．
(3)S1を直線Q1Q2と曲線Cで囲まれた部分の面積，S2を曲線Cと線分PQ1，PQ2で囲まれた部分の面積とする．S1とS2を・・・

　私立 早稲田大学 2015年 第5問

曲線C:y=x3上に，次のようにして点P1，P2，P3，・・・，Pn，・・・をとる．
(i)P1はC上の与えられた点とする．
(ii)Pnを通り，Pnとは異なる点でCと接する直線が1つだけ存在するとき，その直線をℓnとし，ℓnとCとの接点をP_{n+1}とする．もしこのような直線ℓnが存在しない場合にはP_{n+1}はPnと同一の点とする．
点Pnのx座標をxnとす・・・

　私立 東北学院大学 2015年 第3問

放物線C:y=x2-xについて以下の問いに答えよ．ただしa＞0とする．
(1)点(0,-a)を通るCの2つの接線の方程式およびそれぞれの接点の座標を求めよ．
(2)(1)で求めた2つの接点を通る直線およびCで囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)(1)で求めた2つの接線およびCで囲まれた部分の面積を求めよ．

　私立 甲南大学 2015年 第2問

kを正の実数とする．直線ℓ:y=\frac{x}{√3}+kはx軸と点Pで交わり，円O:x2+y2=1と2点A，Bで交わる．ただし，3点P，A，Bは直線ℓ上にこの順で並び，AB=1である．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)kの値を求めよ．また，点P，A，Bの座標を求めよ．
(2)点Pを通り円Oに接する直線のうち傾きが負であるものをmとする．直線mの方程式を求めよ．また，直線mと円Oの接点C・・・