「接点」について

　国立 岩手大学 2014年 第5問

a,bを実数とするとき，関数f(x)=x3-ax2+bxについて，次の問いに答えよ．
(1)y=f(x)のグラフ上の点(t,f(t))における接線の方程式を求めよ．
(2)a=1,b=-1のとき，y=f(x)のグラフの接線で点(-1,1)を通るものは何本あるか答えよ．また，このときの各接点のx座標を求めよ．
(3)y=f(x)のグラフが傾き1の接線をちょうど2本持つための条件を，実数の組(a,b)を座標平面上に図示することで与えよ．

　国立 岩手大学 2014年 第5問

a,bを実数とするとき，関数f(x)=x3-ax2+bxについて，次の問いに答えよ．
(1)y=f(x)のグラフ上の点(t,f(t))における接線の方程式を求めよ．
(2)a=1,b=-1のとき，y=f(x)のグラフの接線で点(-1,1)を通るものは何本あるか答えよ．また，このときの各接点のx座標を求めよ．
(3)y=f(x)のグラフが傾き1の接線をちょうど2本持つための条件を，実数の組(a,b)を座標平面上に図示することで与えよ．

　国立 佐賀大学 2014年 第3問

放物線C:y=x2と，それと共有点をもたない直線ℓ:y=ax+bを考える．直線ℓ上の点Pから放物線Cに相異なる2本の接線を引き，その接点をそれぞれQ，Rとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)点Q，Rの座標をそれぞれ(α,α2)，(β,β2)とおく．点Pのx座標をα,βで表せ．
(2)直線QRは点Pをℓ上どのようにとっても，定点を通ることを証明せよ．

　国立 豊橋技術科学大学 2014年 第3問

xy平面内の直線Lをx-ay+a2-1=0とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，aは実数とする．
(1)直線Lとx軸との交点の座標をaを用いて表せ．
(2)直線Lはaが0でないときy軸と交わる．このときのy軸との交点の座標をaを用いて表せ．
(3)直線L上の点(x,y)がとりえる範囲を，xとyに関する不等式で表せ．
(4)(3)で求めた範囲の境界を曲線Cとする．直線Lと曲線Cが接することを示し，接点の座標をaを用いて表せ．
(5)a＞0のとき，直線Lと(4)の曲線Cおよびx軸で囲ま・・・

　国立 大阪教育大学 2014年 第3問

曲線y=\frac{x2}{x2+3}をCとし，座標平面上の原点をOとする．以下の問に答えよ．
(1)曲線Cの凹凸，変曲点，漸近線を調べ，その概形をかけ．
(2)曲線Cの接線で原点を通るものをすべて求めよ．また，その接点を求めよ．
(3)Pを原点を中心とする半径\frac{\sqrt{17}}{4}の円周上の点とする．点Pを点A(0,\frac{\sqrt{17}}{4})から時計回りに動かすとき，原点以外に線分OPが初めて曲線Cと共有点をもつと・・・

　国立 小樽商科大学 2014年 第5問

2つの曲線K1:y=sinxとK2:y=-cosx+aについて，次の問いに答えよ．ただし，aは実数とし，0≦x≦πとする．
(1)K1とK2が接するとき，接点の座標とaの値を求めよ．
(2)(1)で求めたaに対して，y軸とK1，K2とで囲まれた部分の面積を求めよ．

　国立 高知大学 2014年 第2問

{an},{bn}を{an}2-bn≧0(n=1,2,・・・)となる数列とし，3次関数
y=x3+3anx2+3bnx+1
のグラフの接線の傾きが0となる接点のx座標のうち小さくない方をcnとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1){an},{bn}がan=n，bn=n2で与えられる数列のとき，{cn}を求めよ．
(2){bn}を初項も公差も0である等差数列とする．このとき，cn=bn(n=1,2,・・・)となるための条件を求めよ．
(3){an},{bn}をそれぞれ公比がr，r2の・・・

　国立 宮崎大学 2014年 第3問

次の各問に答えよ．
(1)下図のように半径r1の円O1と半径r2の円O2が外接している．円O1と円O2の接点をPとする．円O1の周上に点Pと異なる点Aをとり，線分APの延長と円O2の交点をBとする．また，円O1の周上に点P，点Aと異なる点Cをとり，線分CPの延長と円O2の交点をDとする．このとき，次の(i)，(ii)に答えよ．
（プレビューでは図は省略します）
\beg・・・

　国立 九州工業大学 2014年 第1問

放物線C:y=ax2+bx+c(a＞0)を考える．2本の直線
ℓ1:y=5/2x　および　ℓ2:y=-1/2x
はCに接するものとする．Cとℓ1の接点をP，Cとℓ2の接点をQとする．以下の問いに答えよ．
(1)α,β,γ(α≠0)を定数とするとき，2次方程式αx2+βx+γ=0が重解を持つための条件を求めよ．
(2)bの値を求めよ．また，cをaを用いて表せ．
(3)P，Qのx座標をaを用いて表・・・

　国立 島根大学 2014年 第3問

点(0,5)を通る直線ℓと楕円C:\frac{x2}{4}+\frac{y2}{9}=1を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)楕円Cと共有点をもつ直線ℓの方程式をすべて求めよ．
(2)楕円Cと直線ℓが接するとき，その接点の座標を求めよ．
(3)楕円Cと直線ℓが第一象限で接するとき，Cとℓおよびy軸で囲まれた図形をy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ．