「接点」について

　公立 札幌医科大学 2014年 第3問

aを0＜a＜1とする．座標空間の4点をO(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1/a,0)，C(0,0,\frac{1}{1-a})とする．また，4点O，A，B，Cを頂点とする四面体に内接する球をSとする．
(1)3点A，B，Cを通る平面に直交し長さが1のベクトルをaを用いて表せ．
(2)3点A，B，Cを通る平面と球Sの接点の座標をaを用いて・・・

　国立 北海道大学 2013年 第4問

実数tが0≦t＜8をみたすとき，点P(t,t3-8t2+15t-56)を考える．
(1)点Pから放物線y=x2に2本の異なる接線が引けることを示せ．
(2)(1)での2本の接線の接点をQおよびRとする．線分PQ，PRと放物線y=x2で囲まれた領域の面積S(t)をtを用いて表せ．

　国立 岡山大学 2013年 第4問

Cをxy平面上の放物線y=x2とする．不等式y＜x2で表される領域の点PからCに引いた2つの接線に対して，それぞれの接点のx座標をα,β(α＜β)とする．また，2つの接線とCで囲まれた部分の面積をSとする．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，等式
∫pq(x-p)2dx=\frac{(q-p)3}{3}
を用いてもよい．
(1)点Pの座標(a,b)をα,βを用いて表せ．
(2)S=\frac{(β-α)3}{12}を示せ．
(3)点Pが曲線・・・

　国立 広島大学 2013年 第1問

放物線y=2x2-8をCとする．x軸上の点A(a,0)(a＞0)を通りCと接する直線が2本あるとき，次の問いに答えよ．
(1)aの値の範囲を求めよ．
(2)2つの接点P,Qのx座標をそれぞれα,β(α＜β)とする．β-α=3のとき，aの値と2本の接線の方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた2本の接線とCで囲まれた部分の面積を求めよ．

　国立 信州大学 2013年 第4問

放物線y=(x-1)2+q(q＞0)のグラフに，原点Oから引いた2本の接線が互いに垂直に交わっているとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)qの値を求めよ．
(2)2本の接線と放物線とで囲まれる図形の面積をS1とする．また，2本の接線と放物線との接点を点A，Bとし，△OABの面積をS2とする．このとき，\frac{S2}{S1}の値を求めよ．

　国立 九州大学 2013年 第4問

座標平面上の円(x-1)2+(y-1)2=2をCとする．以下の問いに答えよ．
(1)直線y=x-2は円Cに接することを示せ．また，接点の座標も求めよ．
(2)円Cと放物線y=1/4x2-1の共有点の座標をすべて求めよ．
(3)不等式y≧1/4x2-1の表す領域をDとする．また，不等式|x|+|y|≦2の表す領域をAとし，不等式(|x|-1)2+(y-1)2≦2の表す領域をBとする．そして，和集合A∪B，すなわち領域Aと領域Bを合わせた領域をEとする・・・

　国立 東京工業大学 2013年 第5問

a,bを正の実数とし，円C1:(x-a)2+y2=a2と楕円C2:x2+\frac{y2}{b2}=1を考える．
(1)C1がC2に内接するためのa,bの条件を求めよ．
(2)b=\frac{1}{√3}とし，C1がC2に内接しているとする．このとき，第1象限におけるC1とC2の接点の座標(p,q)を求めよ．
(3)(2)の条件のもとで，x≧pの範囲において，C1とC2で囲まれた部分の面積を求めよ．

　国立 東京大学 2013年 第1問

関数y=x(x-1)(x-3)のグラフをC，原点Oを通る傾きtの直線をℓとし，CとℓがO以外に共有点をもつとする．Cとℓの共有点をO，P，Qとし，|ベクトルOP|と|ベクトルOQ|の積をg(t)とおく．ただし，それらの共有点の1つが接点である場合は，O，P，Qのうちの2つが一致して，その接点であるとする．関数g(t)の増減を調べ，その極値を求めよ．

　国立 愛知教育大学 2013年 第4問

曲線y=x2をCとする．C上の点A(α,α2)(α＜0)における曲線Cの接線をℓとする．また，この接線ℓ上の点Pから，曲線Cにℓとは異なる接線mをひく．ただし，点Pのx座標はpとし，p＞αとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)接線mの曲線Cとの接点Bの座標を求めよ．
(2)点Aと点Bを通る直線が，直線ℓと垂直となるとき，点Pの座標を求めよ．
(3)点Pを(2)で求めたものとする．このとき，点・・・

　国立 浜松医科大学 2013年 第1問

関数f(x)=logx+1/xと曲線C:y=f(x)(x＞0)について，以下の問いに答えよ．なお，必要ならば\lim_{x→∞}\frac{logx}{x}=0を用いてもよい．
(1)f(x)の導関数f´(x)と不定積分∫f(x)dxをそれぞれ求めよ．
(2)曲線Cの変曲点を求めよ．
以下aは1より大きい実数とし，点(a,f(a))におけるCの接線をℓ(a)とする．
(3)接線ℓ(a)の方程式を求めよ．また，a≠2のとき，曲線Cと接線ℓ(a)は2個の・・・