「接点」について

　国立 弘前大学 2013年 第3問

2曲線C1:x2+y2=1とC2:y=-\frac{√3}{3}(x-3)(x-β)を考える．ただし，β＞3とする．また，C1上の点(1/2,-\frac{√3}{2})を通るC1の接線ℓがC2にも接しているとする．次の問いに答えよ．
(1)ℓとC2の接点の座標およびβの値を求めよ．
(2)C1とℓおよびx軸で囲まれた部分をS1とし，C2とℓおよびx軸で囲まれた部分をS2とする．このとき，S1とS2の面積をそれぞれ求めよ．
\end{enu・・・

　国立 香川大学 2013年 第4問

0＜p1＜p2,1＜r2とする．中心O1(p1,0)，半径1の円C1と，中心O2(p2,0)，半径r2の円C2は点Tで外接している．また円C1,C2はともに放物線C:x=y2に接している．円C1と放物線Cとの接点で第1象限にあるものをQ1({q1}2,q1)，円C2と放物線Cとの接点で第1象限にあるものをQ2({q2}2,q2)とおくとき，次の問に答えよ．
(1)p1,p2,q1,q2,r2を求めよ．
(2)放物線Cと弧\widehat{Q1T}および弧\wideh・・・

　国立 旭川医科大学 2013年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)関数y=xlogx-x(x＞0)の増減を調べ，そのグラフをかけ．
(2)aを正の実数とする．曲線C:y=log(x+1)上の点(t,log(t+1))における接線ℓtが，曲線Ca:y=alogx上の点(s,alogs)における接線にもなっているとき，tとsの関係をaを含まない式で表せ．
(3)任意に与えられたt＞-1に対して，直線ℓtが曲線Caの接線にもなっているようなaが唯一つ存在すること，およびa＞1であることを示せ．
(4)直線ℓtが曲線Caの接線になっているとき，その・・・

　国立 筑波大学 2013年 第3問

xyz空間において，点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)を通る平面上にあり，正三角形ABCに内接する円板をDとする．円板Dの中心をP，円板Dと辺ABの接点をQとする．
(1)点Pと点Qの座標を求めよ．
(2)円板Dが平面z=tと共有点をもつtの範囲を求めよ．
(3)円板Dと平面z=tの共通部分が線分であるとき，その線分の長さをtを用いて表せ．
(4)円板Dをz軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
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　国立 佐賀大学 2013年 第4問

関数f(x)=xe^{-2x}に関して次の問に答えよ．ただし，eは自然対数の底である．
(1)曲線y=f(x)の概形をかけ．必要ならば，\lim_{x→∞}xe^{-2x}=0を使ってよい．
(2)曲線y=f(x)の接線のうちで傾きが最小となるものをℓとする．その接線ℓの方程式と接点(a,f(a))を求めよ．
(3)x＜aにおいて，接線ℓは曲線y=f(x)より常に上側にあることを証明せよ．ただし，aは(2)で求めたものとする．
(4)曲線y=f(x)，接線ℓ，およびy軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ．・・・

　国立 九州工業大学 2013年 第4問

曲線C1:\frac{x2}{4}+y2=1(x≧0)と曲線C2:x2+y2=1(x≧0)がある．曲線C1の点P(√s,√t)(s＞0,t＞0)における法線をℓとする．次に答えよ．
(1)sをtを用いて表せ．また，直線ℓの方程式をtを用いて表せ．
(2)直線ℓが曲線C2に接するときの点Pの座標および接点Qの座標を求めよ．
(3)P，Qは(2)で求めた点とし，点(0,1)をRとする．曲線C1，弧RQおよび線分PQで囲ま・・・

　国立 琉球大学 2013年 第2問

xy平面上の曲線Cは媒介変数θを用いて
x=2/3√3cosθ+\frac{√6}{3}sinθ,y=\frac{√3}{3}cosθ-\frac{√6}{3}sinθ(0≦θ≦π)
と表される．このとき，次の問いに答えよ．
(1)曲線Cを表すxとyの関係式を求め，xy平面に図示せよ．
(2)点(2,0)から曲線Cに引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ．

　国立 群馬大学 2013年 第10問

αを実数とし，点(α,0)を通り傾きαの直線をℓ(α)とおく．放物線y=px2+qx+rは，αがすべての実数を動くとき，つねにℓ(α)と接している．
(1)p,q,rの値を求め，接点の座標をαを用いて表せ．
(2)α≠0のとき，この放物線とℓ(α)およびx軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

　国立 長崎大学 2013年 第1問

円C1:x2-4x+y2=0と直線ℓ:y=\frac{√3}{3}xがある．次の問いに答えよ．
(1)円C1と直線ℓの交点のうち，原点Oと異なるものをAとする．点Aの座標を求めよ．さらに，原点Oを頂点とし，点Aを通る放物線C2の方程式をy=ax2とする．aの値を求めよ．
(2)直線ℓの傾きをtanθと表す．そのときのθの値を求めよ．ただし，-π/2＜θ＜π/2とする．
(3)円C1と直線ℓで囲まれた・・・

　国立 東京海洋大学 2013年 第3問

座標平面上の曲線Kをy=x3-x+1とする．
(1)点(t,t3-t+1)におけるKの接線の方程式をtを用いて表せ．
(2)点(1,5)を通る直線ℓがKと接するとき，接点の座標を求めよ．
(3)直線ℓとKで囲まれた図形の面積を求めよ．ただし，∫x3dx=\frac{x4}{4}+C（Cは積分定数）を用いてよい．