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2つの放物線
C1:y=x2,C2:y=-(x-1)2
がある.aは0でない実数とし,C1上の2点P(a,a2),Q(-2a,4a2)を通る直線と平行なC1の接線をℓとする.
(1)ℓの方程式をaで表せ.
(2)C2とℓが異なる2つの共有点をもつようなaの値の範囲を求めよ.
(3)C2とℓが異なる2つの共有点R,Sをもつとする.線分PQの長さと線分RSの長さが等しくなるとき,aの値を求めよ.
国立 北海道大学 2015年 第1問aは実数とし,2つの曲線
C1:y=(x-1)ex,C2:y=1/2ex2+a
がある.ただし,eは自然対数の底である.C1上の点(t,(t-1)et)におけるC1の接線がC2に接するとする.
(1)aをtで表せ.
(2)tが実数全体を動くとき,aの極小値,およびそのときのtの値を求めよ.
国立 神戸大学 2015年 第3問aを正の実数とする.座標平面上の曲線Cを
y=x4-2(a+1)x3+3ax2
で定める.曲線Cが2つの変曲点P,Qをもち,それらのx座標の差が√2であるとする.以下の問に答えよ.
(1)aの値を求めよ.
(2)線分PQの中点とx座標が一致するような,C上の点をRとする.三角形PQRの面積を求めよ.
(3)曲線C上の点Pにおける接線がP以外でCと交わる点をP´とし,点Qにおける接線がQ以外でCと交わる点をQ・・・
国立 広島大学 2015年 第4問a,b,pはa>0,b>0,p<0を満たす実数とする.座標平面上の2曲線
C1:y=ex,C2:\frac{x2}{a2}+\frac{y2}{b2}=1
を考える.ただし,eは自然対数の底である.C1とC2が点(p,ep)を共有し,その点におけるC1の接線とC2の接線が一致するとき,次の問いに答えよ.
(1)pをaを用いて表せ.
(2)\lim_{a→∞}(p+a)を求めよ.
(3)\lim_{a→∞}\frac{b2e^{2a}}{a}を求めよ.
国立 広島大学 2015年 第1問a,b,cを実数とし,a<1とする.座標平面上の2曲線
C1:y=x2-x,C2:y=x3+bx2+cx-a
を考える.C1とC2は,点P(1,0)と,それとは異なる点Qを通る.また,点PにおけるC1とC2の接線の傾きは等しいものとする.点PにおけるC1の接線をℓ1,点QにおけるC1の接線をℓ2,点QにおけるC2の接線をℓ3とする.次の問いに答えよ.
(1)b,cおよび点Qの座標をaを用いて表せ.
(2)ℓ1,ℓ2,ℓ3・・・
国立 旭川医科大学 2015年 第3問曲線C:y=sin2xについて,C上の点(t,sin2t)(0≦t≦π/2)におけるCの接線と直線x=aとの交点をPとする.ただし,aは0≦a≦π/2を満たす定数とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)点Pのy座標をf(t)とおくとき,f(t)を求めよ.
(2)関数f(t)の増減を調べ,その最大値と最小値を求めよ.
(3)tが0≦t≦π/2の範囲を動くとき,点(t,sin2t)・・・
国立 岡山大学 2015年 第4問2次関数y=f(x)のグラフは,上に凸であり,原点および点Q(a,0)を通るものとする.ただし,0<a<1である.関数y=x2のグラフをC,関数y=f(x)のグラフをDとし,CとDの共有点のうち,原点と異なるものをPとする.点PにおけるCの接線の傾きをm,Dの接線の傾きをnとするとき
(2a-1)m=2an
が成り立つとする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)f(x)をxとaの式で表せ.
(2)0≦x≦aの範囲で,曲線Dとx軸で囲まれた図形の面積をS(a)とする.S(a)・・・
国立 金沢大学 2015年 第2問a,bは定数で,ab>0とする.放物線C1:y=ax2+b上の点P(t,at2+b)における接線をℓとし,放物線C2:y=ax2とℓで囲まれた図形の面積をSとする.次の問いに答えよ.
(1)ℓの方程式を求めよ.
(2)ℓとC2のすべての交点のx座標を求めよ.
(3)点PがC1上を動くとき,Sは点Pの位置によらず一定であることを示せ.
国立 岡山大学 2015年 第3問自然数n=1,2,3,・・・に対して,関数fn(x)=x^{n+1}(1-x)を考える.
(1)曲線y=fn(x)上の点(an,fn(an))における接線が原点を通るとき,anをnの式で表せ.ただし,an>0とする.
(2)0≦x≦1の範囲で,曲線y=fn(x)とx軸とで囲まれた図形の面積をBnとする.また,(1)で求めたanに対して,0≦x≦anの範囲で,曲線y=fn(x),x軸,および直線x=anで囲まれた図形の面積をCnとする.BnおよびCnをnの式で表せ.
(3)(2)で求めたBnおよび・・・
国立 名古屋工業大学 2015年 第1問次の問いに答えよ.
(1)x≧1のとき,不等式2√x>1+logxが成り立つことを証明せよ.
(2)関数y=xlogx(x>0)のグラフを曲線Cとする.定数aに対し,曲線Cの接線で点(a,0)を通るものは何本あるか.
(3)(2)で定められた曲線Cとその傾き2の接線および直線x=e^{-2}で囲まれた部分の面積を求めよ.