「接線」について

　国立 名古屋工業大学 2015年 第3問

次の\tocichi，\tocniに答えよ．
\mon[\tocichi]次の5つの定積分を求めよ．（\tocni(4)で用いる．）
I1=∫0^πxsinxdx,I2=∫0^πx2cosxdx,I3=∫0^πsin2xdx
I4=∫0^πxcosxsinxdx,I5=∫0^πsin2xcosxdx
\mon[\tocni]関数y=sinxのグラフを曲線Cとする．C上の点O(0,0)における接線をℓ1・・・

　国立 東北大学 2015年 第4問

a＞0を実数とする．関数f(t)=-4t3+(a+3)tの0≦t≦1における最大値をM(a)とする．
(1)M(a)を求めよ．
(2)実数x＞0に対し，g(x)=M(x)2とおく．xy平面において，関数y=g(x)のグラフに点(s,g(s))で接する直線が原点を通るとき，実数s＞0とその接線の傾きを求めよ．
(3)aが正の実数全体を動くとき，
k=\frac{M(a)}{√a}
の最小値を求めよ．

　国立 新潟大学 2015年 第3問

f(x)=x2-2x+2とする．放物線y=f(x)上の点P(p,f(p))における接線をℓ1とし，放物線y=f(x)上の点Q(p+1,f(p+1))における接線をℓ2とする．2直線ℓ1，ℓ2の交点をRとする．ただしpは定数である．次の問いに答えよ．
(1)直線ℓ1,ℓ2の方程式をそれぞれpを用いて表せ．
(2)交点Rの座標をpを用いて表せ．
(3)放物線y=f(x)と2直線ℓ1,ℓ2とで囲まれた部分の面積を求めよ．

　国立 新潟大学 2015年 第3問

座標平面上の原点Oを中心とする半径1の円周C上の点をA(a,b)とし，f(x)=(x-a)2+bとする．点B(0,-2)から放物線y=f(x)に引いた接線をℓ1，ℓ2とし，接点をそれぞれP(p,f(p))，Q(q,f(q))とする．ただしp＜qである．放物線y=f(x)と2直線ℓ1，ℓ2とで囲まれた部分の面積をSとする．次の問いに答えよ．
(1)接線ℓ1の方程式と接点Pの座標，および接線ℓ2の方程式と接点Qの座標をa,bを用いて表せ．
(2)面積S・・・

　国立 埼玉大学 2015年 第3問

f(x)=x4-2x3とし，曲線C:y=f(x)上の点P(α,f(α))における接線をℓとする．次の問いに答えよ．
(1)ℓの方程式を求めよ．
(2)α=1のとき，ℓとCとのP以外の共有点をすべて求めよ．
(3)ℓとCがP以外に2つの共有点を持つようなαの範囲を求めよ．
(4)ℓとCがP以外の共有点(β,f(β))，(γ,f(γ))(β＜γ)を持つとする．このとき，γ-βが最大となるαの値を求めよ．
\end{en・・・

　国立 埼玉大学 2015年 第3問

f(x)=x4-2x3とし，曲線C:y=f(x)上の点P(α,f(α))における接線をℓとする．次の問いに答えよ．
(1)ℓの方程式を求めよ．
(2)α=1のとき，ℓとCとのP以外の共有点をすべて求めよ．
(3)ℓとCがP以外に2つの共有点を持つようなαの範囲を求めよ．
(4)ℓとCがP以外の共有点(β,f(β))，(γ,f(γ))(β＜γ)を持つとする．このとき，γ-βが最大となるαの値を求めよ．
\end{en・・・

　国立 熊本大学 2015年 第1問

aを実数とする．曲線C1:y=x2上の点(a,a2)における接線をℓとする．曲線C2をy=x2-1とする．以下の問いに答えよ．
(1)ℓとC2とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(2)a=\frac{1}{√2}とする．曲線C3:y=-x2+1とC2とで囲まれた部分はℓによって2つの部分に分けられる．これらのうち，点(0,1/2)を含む部分の面積を求めよ．

　国立 琉球大学 2015年 第2問

頂点が点A(0,4)で，点B(2,0)を通る放物線を考える．次の問いに答えよ．
(1)この放物線をグラフとする2次関数を求めよ．
(2)この放物線上にあり，x座標が2a(a＞0)である点をCとする．この放物線とx軸との交点で，点Bと異なる点をDとする．点Cにおける放物線の接線ℓ1と点Dにおける放物線の接線ℓ2との交点Eの座標を，aを使って表せ．
(3)この放物線と直線ℓ2，および点Eを通りy軸に平行な直線で囲まれた部・・・

　国立 鳥取大学 2015年 第3問

xy平面上の第1象限内の2つの曲線C1:y=√x(x＞0)とC2:y=1/x(x＞0)を考える．次の問いに答えよ．ただし，aは正の実数とする．
(1)x=aにおけるC1の接線L1の方程式を求めよ．
(2)C2の接線L2が(1)で求めたL1と直交するとき，接線L2の方程式を求めよ．
(3)(2)で求めたL2がx軸，y軸と交わる点をそれぞれA，Bとする．折れ線AOBの長さlをaの関数として求め，lの最小値を求めよ．ここで，Oは原点である・・・

　国立 鳥取大学 2015年 第3問

xy平面上の第1象限内の2つの曲線C1:y=√x(x＞0)とC2:y=1/x(x＞0)を考える．次の問いに答えよ．ただし，aは正の実数とする．
(1)x=aにおけるC1の接線L1の方程式を求めよ．
(2)C2の接線L2が(1)で求めたL1と直交するとき，接線L2の方程式を求めよ．
(3)(2)で求めたL2がx軸，y軸と交わる点をそれぞれA，Bとする．折れ線AOBの長さlをaの関数として求め，lの最小値を求めよ．ここで，Oは原点である・・・