「接線」について

　国立 大分大学 2015年 第4問

曲線C:4x2+9y2=36(x＞0)上の点P(\frac{3√3}{2},y1)が第1象限にある．点Pにおける曲線Cの接線をℓとする．
(1)y1の値を求めなさい．
(2)接線ℓの方程式を求めなさい．
(3)接線ℓとx軸との交点のx座標を求めなさい．
(4)曲線C，接線ℓ，x軸で囲まれた部分の面積Sを求めなさい．

　国立 九州工業大学 2015年 第4問

関数f(x)=\frac{\sqrt{x2-1}}{x}(x≧1)と曲線C:y=f(x)について，次に答えよ．
(1)区間x＞1で，f(x)は増加し，曲線Cは上に凸であることを示せ．
(2)曲線Cの点(√2,f(√2))における接線ℓの方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた直線ℓと曲線Cおよびx軸で囲まれた図形をDとする．Dをy軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ．
(4)(3)で定めた図形Dの面積Sを求めよ．

　国立 千葉大学 2015年 第3問

双曲線x2-y2=1・・・①の漸近線y=x・・・②上の点P0:(a0,a0)（ただしa0＞0）を通る双曲線①の接線を考え，接点をQ1とする．Q1を通り漸近線②と垂直に交わる直線と，漸近線②との交点をP1:(a1,a1)とする．次にP1を通る双曲線①の接線の接点をQ2，Q2を通り漸近線②と垂直に交わる直線と，漸近線②との交点をP2:(a2,a2)とする．この手続きを繰り返して同様にして点P_・・・

　国立 小樽商科大学 2015年 第2問

曲線T:y=x3+6x2について，次の問いに答えよ．
(1)点(2,a)を通る曲線Tへの接線の本数Lを求めよ．ただしa＞0とする．
(2)このLが2本のとき，接点のx座標が小さい方の接線と，曲線Tで囲まれる部分の面積を求めよ．

　国立 小樽商科大学 2015年 第3問

次の[]の中を適当に補え．
(1)整数m≧2015に対し，
\frac{1}{22-1}+\frac{1}{42-1}+\frac{1}{62-1}+・・・+\frac{1}{{(2m)}2-1}=[ア]
(2)下図のような道に沿ってA地点からB地点まで進むとき，最短経路は何通りあるかを求めると[イ]通り．
（プレビューでは図は省略します）
(3)中心がA(1,0)にある半径r(0＜r＜1)の円に原点Oから2本の接線を引く．それぞれの接点と中心Aと原点Oを頂点とする四角形の面積の最大値Mとそのときのr・・・

　国立 小樽商科大学 2015年 第5問

曲線C:y=logx上の点(3/2,log3/2)におけるCの接線と直線x=1，x=3，曲線Cで囲まれた部分の面積を求めよ．ただし，logxはxの自然対数とする．

　国立 愛媛大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)不定積分∫x3e^{x2}dxを求めよ．
(2)定積分∫_{1/e}e|logx|dxを求めよ．
(3)楕円\frac{x2}{4}+\frac{y2}{2}=1上の点(√2,1)における接線の方程式を求めよ．
(4)(\frac{1+√5}{2})3からその整数部分を引いた値をaとするとき，a4+5a3+4a2+4aの値を求めよ．
(5)実数a,b,cは0＜a＜b＜c，1/b=1/2(1/a・・・

　国立 愛媛大学 2015年 第3問

aを自然数とし，関数f(x)=x3+2x2+ax+4はx=x1で極大，x=x2で極小になるものとする．また，曲線y=f(x)上の2点P(x1,f(x1))，Q(x2,f(x2))の中点をRとする．
(1)a=1であることを示せ．
(2)点Pおよび点Qの座標を求めよ．
(3)点Rは曲線y=f(x)上にあることを示せ．
(4)点Rにおける曲線y=f(x)の接線は，点R以外にy=f(x)との共有点をもたないことを示せ．

　国立 東京海洋大学 2015年 第4問

座標平面上の曲線y=x2(1-x)をCとし，直線y=-xをℓとする．数列{an}(n=1,2,3,・・・)を次のように定める．a1=2/5とし，x=an(n=1,2,3,・・・)におけるCの接線とℓの交点のx座標をa_{n+1}とする．このとき次の問に答えよ．
(1)nを自然数とするとき，a_{n+1}をanで表せ．
(2)nを自然数とするとき，0＜a_{n+1}＜{an}2を示せ．

　国立 富山大学 2015年 第1問

f(x)=logx(x＞0)とし，曲線C1:y=f(x)上の点(t,f(t))における接線をℓとする．直線ℓと曲線C2:y={(x-√2)}2で囲まれた図形の面積をSとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)Sをtを用いて表せ．
(2)Sを最小にするtの値を求めよ．ただし，そのときのSの値は求めなくてよい．