「接線」について

　私立 立教大学 2015年 第2問

座標平面上に2つの放物線C1:y=x2とC2:y=ax2+bx+c(a≠0)がある．この2つの放物線C1とC2がx=-1で交わり，その点で各々の接線が直交するとき，次の問に答えよ．
(1)b,cをそれぞれaを用いて表せ．
(2)2つの放物線C1とC2が，さらにx=1/4で交わるときのaの値を求めよ．
(3)aを(2)で求めた値とするとき，放物線C2のx=-1での接線ℓ1，x=1/4での接線ℓ2とC2で囲まれた図形の面積Sを求めよ．

　私立 上智大学 2015年 第2問

f(x)=x3-3x2-x+3とし，座標平面上の曲線y=f(x)の点P(p,f(p))における接線をℓとする．ただし，p≠3とする．放物線C:y=ax2+bx+cは点(3,0)を通り，直線ℓとPで接する．
(1)a,b,cをそれぞれpの式で表すと，
a=[セ]p,b=[ソ]p2+[タ]p+[チ],c=[ツ]p2+[テ]
である．
(2)1/2＜p＜3とする．Cおよびその下側の部分で，Cと直線x=1/2およびx軸で囲まれる図形の面積をS_・・・

　私立 東京理科大学 2015年 第3問

正の定数a(a≠1)に対して，2次関数f(x)を
f(x)=ax(1-x)
と定める．曲線C:y=f(x)の点(1,0)における接線をℓ1，直線y=-xをℓ2とする．曲線Cのx≦1の部分と2直線ℓ1，ℓ2で囲まれる部分の面積をSで表し，また，この部分をx軸の周りに1回転してできる図形の体積をVで表す．
(1)直線ℓ1,ℓ2の交点の座標をaを用いて表せ．
(2)Sをaを用いて表せ．
(3)定数aはa＞1を満たすものとする．2直線ℓ1，ℓ2とx軸で囲まれる部・・・

　私立 東京理科大学 2015年 第2問

tを0＜t＜1を満たす実数として，関数f(x)を
f(x)=-x2+(1+t2)x-t2
と定める．座標平面において，原点Oから放物線y=f(x)へ引いた接線のうち，接点のx座標が正のものを考える．その接点をP(p,f(p))とおく．
(1)点Pの座標をtを用いて表せ．
(2)放物線y=f(x)のx≦pの部分，x軸，直線x=pで囲まれる図形の面積をS1とする．S1をtを用いて表せ．
(3)線分OP，x軸，直線x=pで囲まれる図形の面積をS2とし，(2)のS1に対してS=S2-S1とお・・・

　私立 東京理科大学 2015年 第2問

a＞0を定数とし，座標平面上の点P(p,0)から放物線C:y=ax2+2aに2本の接線PQ1，PQ2を引く．ここでQ1，Q2は接点で，Q1のx座標q1はQ2のx座標q2より小さいとする．
(1)q1とq2を，pを用いて表せ．
(2)直線Q1Q2の方程式を，aとpを用いて表せ．
(3)S1を直線Q1Q2と曲線Cで囲まれた部分の面積，S2を曲線Cと線分PQ1，PQ2で囲まれた部分の面積とする．S1とS2を・・・

　私立 早稲田大学 2015年 第4問

点Pが放物線y=2x2-x上を動くとき，点Pにおける放物線y=2x2-xの接線と放物線y=-x2+1とで囲まれる部分の面積の最小値は
\frac{[ス]\sqrt{[セ]}}{54}
である．

　私立 早稲田大学 2015年 第4問

座標平面の第1象限に曲線C0:y=1/x+x(x＞0)と曲線C:y=1/x(x＞0)がある．C0上の点(a,1/a+a)におけるC0の接線をℓとする．このとき，ℓは曲線Cと2点で交わっているとする．
(1)このように，接線ℓと曲線Cが2点で交わるaの範囲を求めよ．
(2)接線ℓと曲線Cとで囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)上の(2)で求めた面積をS(a)とするとき，
\frac{a3}{1-a2}＜S(a)＜\frac{2a}{1-a・・・

　私立 立教大学 2015年 第3問

座標平面上の曲線C:y=x3+x2+axは，直線ℓ1:y=-xと原点O(0,0)で接している．このとき，次の問に答えよ．
(1)aの値を求めよ．
(2)直線ℓ1とCの共有点でO以外の点をPとする．点Pの座標を求めよ．
(3)点Pを通るCの接線ℓ2とCの共有点で点P以外の点をQとする．点Qの座標を求めよ．
(4)点Qを通るCの接線ℓ3とCの共有点で点Q以外の点をRとする．点Rの座標を求めよ．
(5)三角形\・・・

　私立 東北学院大学 2015年 第3問

放物線C:y=x2-xについて以下の問いに答えよ．ただしa＞0とする．
(1)点(0,-a)を通るCの2つの接線の方程式およびそれぞれの接点の座標を求めよ．
(2)(1)で求めた2つの接点を通る直線およびCで囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)(1)で求めた2つの接線およびCで囲まれた部分の面積を求めよ．

　私立 福岡大学 2015年 第3問

関数f(x)=\frac{2√x}{1+√x}について，次の問いに答えよ．
(1)曲線y=f(x)上の点(1,1)における接線の方程式を求めよ．
(2)点(1,1)において接線と直交する直線をℓとする．曲線y=f(x)，直線ℓおよびx軸で囲まれる図形の面積を求めよ．