「接線」について

　私立 広島工業大学 2015年 第2問

曲線y=x3+3x2について，次の問いに答えよ．
(1)曲線上の点(t,t3+3t2)における接線の方程式を求めよ．
(2)曲線に点A(1,-4)から引いた接線の方程式を求めよ．
(3)曲線に点P(1,p)から異なる3本の接線が引けるようなpの値の範囲を求めよ．

　私立 学習院大学 2015年 第4問

放物線C:y=x2上の点P(t,t2)に対して，PにおけるCの接線をLとする．tが0＜t≦1の範囲を動くとき，Lと直線x=1とx軸とで囲まれる三角形の面積の最大値と，最大値を与えるtの値を求めよ．

　公立 首都大学東京 2015年 第3問

座標平面において曲線y=\frac{3}{x2+3}をC1，曲線y=x2+k（kは定数）をC2とする．C1とC2のすべての共有点において互いの接線が直交しているとき，以下の問いに答えなさい．
(1)定数kの値を求めなさい．また，C1とC2のすべての共有点の座標を求めなさい．
(2)C1とC2で囲まれる部分の面積Sを求めなさい．

　公立 岡山県立大学 2015年 第3問

関数f(x)=(1-x)e^{2x}について，次の問いに答えよ．
(1)f(x)の最大値を求めよ．
(2)曲線y=f(x)と直線y=1-xとで囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)曲線y=f(x)上の点(0,1)における接線をℓとする．曲線y=f(x)と直線ℓとの交点は(0,1)のみであることを示せ．

　公立 滋賀県立大学 2015年 第2問

xy平面上に原点Oを中心とする半径1の円Cがある．Cの外部の点A(a,b)(a2+b2＞1)からCに接線を1本引き，その接点をPとし，半直線OA上にOA・OQ=OP2となる点Qをとる．
(1)OA⊥PQとなることを示せ．
(2)Qの座標をa,bを用いて表せ．
(3)Aがb=√2，-√2≦a≦√2の範囲を動くとき，Qの軌跡を求めて図示せよ．

　国立 九州大学 2014年 第1問

関数f(x)=x-sinx(0≦x≦π/2)を考える．曲線y=f(x)の接線で傾きが1/2となるものをℓとする．
(1)ℓの方程式と接点の座標(a,b)を求めよ．
(2)aは(1)で求めたものとする．曲線y=f(x)，直線x=a，およびx軸で囲まれた領域を，x軸のまわりに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ．

　国立 横浜国立大学 2014年 第1問

a,bを実数とする．xy平面上の曲線C:y=x3+ax2+x-2と直線ℓ:y=bx-2が異なる3点で交わるとき，次の問いに答えよ．
(1)a,bの条件を求めよ．
(2)3つの交点それぞれにおけるCの接線の中に，傾きが1より大きいものと，1より小さいものがどちらも存在するためのa,bの条件を求め，その条件をみたすab平面上の点(a,b)の範囲を図示せよ．

　国立 京都大学 2014年 第6問

双曲線y=1/xの第1象限にある部分と，原点Oを中心とする円の第1象限にある部分を，それぞれC1，C2とする．C1とC2は2つの異なる点A，Bで交わり，点AにおけるC1の接線ℓと線分OAのなす角はπ/6であるとする．このとき，C1とC2で囲まれる図形の面積を求めよ．

　国立 京都大学 2014年 第2問

tを実数とする．y=x3-xのグラフCへ点P(1,t)から接線を引く．
(1)接線がちょうど1本だけ引けるようなtの範囲を求めよ．
(2)tが(1)で求めた範囲を動くとき，P(1,t)からCへ引いた接線とCで囲まれた部分の面積をS(t)とする．S(t)の取りうる値の範囲を求めよ．

　国立 一橋大学 2014年 第2問

0＜t＜1とし，放物線C:y=x2上の点(t,t2)における接線をℓとする．Cとℓとx軸で囲まれる部分の面積をS1とし，Cとℓと直線x=1で囲まれる部分の面積をS2とする．S1+S2の最小値を求めよ．