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数列{an}を
a1=3/4,a_{n+1}=1-\frac{1}{4an}(n=1,2,3,・・・)
で定める．以下の問に答えよ．
(1)a2,a3,a4,a5,a6を求めよ．また，それより一般項anを推定せよ．
(2)数学的帰納法により，(1)の一般項の推定が正しいことを証明せよ．
(3)nを正の整数とする．すべての実数xに対して，不等式
anx2+x+1≧a_{n+1}
が成り立つことを示せ．
(4)nを正の整数とする．すべての実数xに対して，不等式
x^{2n}+x^{2n-1}+x^{2n-2}+・・・+x2+・・・
国立 山形大学 2013年 第4問自然数nに対し，座標平面上の点(n,1)をPnとする．また，rを正の実数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)1次変換fは，すべてのnに対してf(Pn)=P_{n+1}を満たすとする．fを表す行列Aを求めよ．
(2)1次変換gは，点(1,1)を点(-2r,1)に，点(-2r,1)を点(2r2-r,1)に移すとする．gを表す行列Bを求めよ．
(3)C=ABA^{-1}とする．行列Cnを推定し，それが正しいことを数学的帰納法によって示せ．
(4)行列Cnで表される1次変換による点(1,r)・・・
国立 山形大学 2013年 第4問自然数nに対し，座標平面上の点(n,1)をPnとする．また，rを正の実数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)1次変換fは，すべてのnに対してf(Pn)=P_{n+1}を満たすとする．fを表す行列Aを求めよ．
(2)1次変換gは，点(1,1)を点(-2r,1)に，点(-2r,1)を点(2r2-r,1)に移すとする．gを表す行列Bを求めよ．
(3)C=ABA^{-1}とする．行列Cnを推定し，それが正しいことを数学的帰納法によって示せ．
(4)行列Cnで表される1次変換による点(1,r)・・・
国立 鹿児島大学 2012年 第8問確率変数Zが標準正規分布N(0,1)に従うとき，
P(Z＞1.96)=0.025,P(Z＞2.58)=0.005,\frac{2.58}{1.96}\fallingdotseq1.32
であるとして，次の各問いに答えよ．
(1)確率変数Xのとる値xの範囲が-1≦x≦1で，その確率密度関数がf(x)=k(1-x2)で与えられている．このとき，定数kの値とXの平均を求めよ．
(2)母平均m，母標準偏差10の母集団から大きさ100の無作為標本を抽出し，その標本平均を\overline{X^{\phantom{1}}\!\!}とする．標本の大きさ100は十分大きい数であるとみなせると・・・
国立 山形大学 2012年 第3問正の整数からなる数列{an}がn=1,2,3,・・・に対して
n(\frac{1}{an}+\frac{1}{a_{n+1}})＜2,2+\frac{1}{a_{n+1}}＜(n+1)(\frac{1}{an}+\frac{1}{a_{n+1}})
を満たし，かつa2=2とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)a1を求めよ．
(2)a3を求めよ．
(3)一般項anを推定し，それが正しいことを証明せよ．
(4)Σ_{k=1}n\frac{1}{\sqrt{a_{k+1}}+\sqrt{ak}}を求めよ．
公立 岐阜薬科大学 2012年 第4問行列A=(\begin{array}{cc}
3a-1&9a\
-a&-3a-1
\end{array})について，次の問いに答えよ．ただし，aは実数とする．
(1)A2,A3を求めよ．
(2)正の整数nについてAnを推定し，それを数学的帰納法で証明せよ．
国立 秋田大学 2011年 第2問関数f(x)=exについて，次の問いに答えよ．
(1)原点からy=f(x)のグラフへ引いた接線の方程式を求めよ．
(2)(1)の接線の接点をP1とする．点P1からx軸に下ろした垂線とx軸との交点をA1(a1,0)とする．このとき，点A1からy=f(x)のグラフへ引いた接線の方程式を求めよ．
(3)(2)の接線の接点をP2とする．点P2からx軸に下ろした垂線とx軸との交点をA2(a2,0)とする．このとき，点A2からy=f(x)のグラフへ接線を引き，その接点をP3とする．さらに，点P3からx軸に下ろした・・・
国立 三重大学 2011年 第2問cを定数として数列{an}を次の条件によって定める．
a1=c+1,a_{n+1}=\frac{n}{n+1}an+1(n=1,2,3,・・・)
(1)a2,a3,a4を求めよ．また一般項anの形を推定し，その推定が正しいことを証明せよ．
(2)c=324のとき，anの値が自然数となるようなnをすべて求めよ．
公立 首都大学東京 2011年 第4問数列{an}が次の式によって与えられているとする．
an=(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)・・・(1-\frac{1}{(n+1)2})
このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)n=1,2,3,4に対して，それぞれ2(n+1)anの値を求めなさい．
(2)anの一般項を推定し，推定した式がすべての自然数nに対して正しいことを数学的帰納法を用いて証明しなさい．
(3)an＞1/2+\frac{100}{n2}をみたす最小のnを求め・・・
公立 岡山県立大学 2011年 第2問数列{an}が，a1=2/3,a_{n+1}=\frac{2-an}{3-2an}(n=1,2,3,・・・)を満たしている．次の問いに答えよ．
(1)a2,a3を求めよ．
(2)一般項anを推定し，それが正しいことを数学的帰納法により証明せよ．
(3)a_{n+1}-an＜\frac{1}{5000}を満たす最小のnを求めよ．
