「推測」について

　国立 愛知教育大学 2014年 第8問

A=(\begin{array}{cc}
2&-2\
0&1
\end{array})，B=(\begin{array}{cc}
1&1\
0&1
\end{array})とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)自然数nに対して，(AB)nを推測し，それを数学的帰納法で証明せよ．
(2)自然数nに対して，(BA)nを求めよ．

　国立 九州工業大学 2014年 第2問

A+B=E，AB=Oをみたす2×2行列A,Bを考える．ただし，Eは単位行列，Oは零行列である．以下の問いに答えよ．
(1)A2=A，B2=B，BA=Oとなることを示せ．
(2)(A+αB)n=A+knBをみたす実数knを推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．ただし，αは実数であり，nは自然数である．
(3)A+αB=(\begin{array}{cc}
-1&-3\
2&4
\end{array})であるとき，A,Bと実数αを求めよ．

　公立 大阪市立大学 2014年 第3問

1次変換fは点(1,3)を点(3,5)へ，点(1,-1)を点(1,-1)へ移すとする．fを表す行列をAとするとき，次の問いに答えよ．
(1)Aを求めよ．
(2)A2,A3を求めよ．
(3)自然数nに対してAnを推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法によって証明せよ．

　国立 九州工業大学 2013年 第3問

行列A=(\begin{array}{cc}
3&4\
1&6
\end{array})について，以下の問いに答えよ．
(1)連立1次方程式{\begin{array}{l}
3x+4y=kx\
x+6y=ky
\end{array}.がx=y=0以外の解をもつような実数kの値を2つ求めよ．
(2)(1)で求めたkの値をa,b(a＜b)とし，B=(\begin{array}{cc}
a&0\
0&b
\end{array})とする．実数s,tに対し，行列P=(\begin{array}{cc}
s&t\
1&1
\end{array})がAP=PBを満たすとき，実数s,t・・・

　国立 岐阜大学 2013年 第4問

正の整数nについて，x＞0で定義された関数fn(x)を次で定める．
\begin{array}{l}
f1(x)=xlogx\
f_{n+1}(x)=(n+1)∫1xfn(t)dt+\frac{1}{n+1}(x^{n+1}-1)
\end{array}
以下の問に答えよ．ただし，logxはxの自然対数とする．
(1)関数f2(x)を求めよ．
(2)関数fn(x)の具体的な形を推測し，それを数学的帰納法で証明せよ．
(3)g(x)=|f2(x)|-|x-1|とおくとき，g(x)がx=1で微分可能であることを証明せよ．また，微分係数g´(1)を求めよ．
\end・・・

　国立 長崎大学 2013年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)a1=3/2,a_{n+1}+2a_{n+1}an-3an=0(n≧1)で与えられる数列{an}について，a2,a3,a4,a5の値を求めよ．また，一般項anを推測し，その推測の結果を数学的帰納法で証明せよ．
(2)7/12π=π/3+π/4であることを利用してsin7/12πを求め，1≦x≦4のとき，次の方程式を解け．
sinx=\frac{√6+√2}{4}
(3)0≦x＜\frac・・・

　国立 信州大学 2012年 第1問

次の条件によって定められる数列{an}について，以下の問に答えよ．
a1=1/2,a_{n+1}=\frac{8an-1}{25an-2}(n=1,2,3,・・・)
(1)a2,a3,a4,a5を求めよ．
(2)(1)の結果に基づいて，一般項anを推測せよ．また，その推測が正しいことを証明せよ．

　国立 和歌山大学 2012年 第5問

行列A=(\begin{array}{ccc}
1&1&1\\
2&3&4
\end{array}),B=(\!\!\begin{array}{rr}
1&-1\\
1&1\\
-1&0
\end{array})について，次の問いに答えよ．
(1)ABおよびABAを求めよ．
(2)自然数nに対して，(AB)nAを推測し，それが正しいことを数学的帰納法で証明せよ．
(3)自然数nに対して，(BA)^{n+1}を求めよ．

　国立 長岡技術科学大学 2012年 第1問

行列A=(\begin{array}{cc}
1&1\
0&2
\end{array})について，以下の問いに答えなさい．
(1)A2とA3を求めなさい．
(2)自然数nに対してAnを推測し，それを数学的帰納法により証明しなさい．

　私立 慶應義塾大学 2012年 第3問

数列{an}は次の3つの条件
\begin{array}{ll}
(A)&a1=1\
(B)&a_{n+1}2-6a_{n+1}an+8an2=0(n=1,2,3,・・・)\
(C)&a_{n+1}＞3an(n=1,2.3,・・・)
\end{array}
を満たしている．以下の文は{an}の一般項を推測する記述である．\
条件(A)と，条件(B)においてn=[(31)]とおいた式から，a2は2次方程式
x2-[(32)]x+[(33)]=0
の解の1つである．この方程式の解のうち小さいほうは[(34)]，大きいほ・・・