「推測」について

　公立 広島市立大学 2012年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)A=(\begin{array}{cc}
2&-1\\
1&0
\end{array})について，以下の問いに答えよ．
(i)Aは逆行列をもつことを示し，A^{-1}を求めよ．
(ii)A2,A3,A4を求めよ．
(iii)正の整数nに対してAnを推測し，その推測が正しいことを証明せよ．
(2)a,b,cを定数とし，a＞0であるとする．2次関数f(x)=ax2+bx+c(-1≦x≦1)の最小値を求めよ．

　公立 会津大学 2012年 第6問

a,bを実数の定数として，2次の正方行列Aを
A=(\begin{array}{cc}
a&a-b\
0&b
\end{array})
と定める．自然数nに対してAnを推測し，それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．

　公立 富山県立大学 2012年 第4問

a,b,c,dは実数とし，行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array}),B=(\begin{array}{cc}
-d&c\
b&-a
\end{array})とする．A2+A+E=Oが成り立つとき，次の問いに答えよ．ただし，Eは単位行列，Oは零行列とする．
(1)a+dおよびad-bcの値を求めよ．
(2)A3,A6,B3,B6を求めよ．
(3)B^{3n}(n=1,2,3,・・・)を推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて示せ．

　国立 福井大学 2011年 第4問

関数fn(x)(n=0,1,2,3,・・・)は次の条件を満たしている．
(　i　)f0(x)=ex,(　ii　)fn(x)=∫0x(n+t)f_{n-1}(t)dt(n=1,2,3,・・・)
このとき以下の問いに答えよ．
(1)f1(x),f2(x)を求めよ．
(2)fn(x)の具体的な形を推測し，その結果を数学的帰納法で証明せよ．

　国立 琉球大学 2011年 第1問

実数pに対して，行列A,B,Cをそれぞれ
A=\biggl(\begin{array}{cc}
0&p\\
1&0
\end{array}\biggr),B=\biggl(\begin{array}{cc}
1&1\\
0&1+p
\end{array}\biggr),C=\biggl(\begin{array}{cc}
1&p\\
1+p&-1
\end{array}\biggr)
とおく．さらに，行列An(n=1,2,3,・・・)を
A1=A,A_{n+1}=AnB-BAn+C(n=1,2,3,・・・)
で定める．次の問いに答えよ．
(1)A2,A3を求めよ．
(2)An(n=1,2,3,・・・)を推測し，その推測が・・・

　国立 福井大学 2011年 第4問

関数fn(x)(n=0,1,2,3,・・・)は次の条件を満たしている．
(i)f0(x)=e^{2x}+1
(ii)fn(x)=∫0x(n+2t)f_{n-1}(t)dt-\frac{2x^{n+1}}{n+1}(n=1,2,3,・・・)
このとき以下の問いに答えよ．
(1)f1(x),f2(x)を求めよ．
(2)fn(x)の具体的な形を推測し，その結果を数学的帰納法で証明せよ．
(3)Σ_{n=1}^∞{fn´(1/2)・・・

　国立 岡山大学 2010年 第2問

次の条件で定められる数列{an}を考える．
a1=1,a2=3,a_{n+2}=an+a_{n+1}(n=1,2,3,・・・)
(1)すべての自然数nに対して
X(\begin{array}{cc}
an&a_{n+1}\\
a_{n+1}&a_{n+2}
\end{array})=(\begin{array}{cc}
a_{n+1}&a_{n+2}\\
a_{n+2}&a_{n+3}
\end{array})
が成り立つように，行列Xを定めよ．
(2)自然数nに対してana_{n+2}-(a_{n+1})2の値を推測して，その結果を数学的帰納法によって証明せよ．

　国立 琉球大学 2010年 第1問

行列A=\biggl(\begin{array}{rr}
3&1\\
-1&1
\end{array}\biggr),P=\biggl(\begin{array}{rr}
1&0\\
-1&1
\end{array}\biggr)に対して以下の問いに答えよ．
(1)U=P^{-1}APとする．Uを求めよ．
(2)nを自然数とする．Unを推測し，その結果を数学的帰納法によって証明せよ．
(3)Anを求めよ．

　公立 名古屋市立大学 2010年 第4問

xy平面上に点P0を原点とし，点P1，P2，・・・，Pnがy軸上の正の部分にこの順に並んでいる．y=x2(x＞0)上に点Q1，Q2，・・・，Qnがこの順に並んでおり，k=1からnに対し，∠　Q　k　P　_{k-1}　P　k=∠　Q　k　P　k　P　_{k-1}=θが成り立っている．\frac{1}{tanθ}=tとおくとき，次の問いに答えよ．
(1)点P1，P2，P3の座標を求めよ．
(2)Pn(0,yn)，Qn(xn,xn2)とするとき，ynをx_{n・・・