「放物線」について

　国立 東京大学 2015年 第1問

正の実数aに対して，座標平面上で次の放物線を考える．
C:y=ax2+\frac{1-4a2}{4a}
aが正の実数全体を動くとき，Cの通過する領域を図示せよ．

　国立 北海道大学 2015年 第1問

2つの放物線
C1:y=x2,C2:y=-(x-1)2
がある．aは0でない実数とし，C1上の2点P(a,a2)，Q(-2a,4a2)を通る直線と平行なC1の接線をℓとする．
(1)ℓの方程式をaで表せ．
(2)C2とℓが異なる2つの共有点をもつようなaの値の範囲を求めよ．
(3)C2とℓが異なる2つの共有点R，Sをもつとする．線分PQの長さと線分RSの長さが等しくなるとき，aの値を求めよ．

　国立 大阪大学 2015年 第2問

直線ℓ:y=kx+m(k＞0)が円C1:x2+(y-1)2=1と放物線C2:y=-1/2x2の両方に接している．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)kとmを求めよ．
(2)直線ℓと放物線C2およびy軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．

　国立 九州大学 2015年 第1問

C1，C2をそれぞれ次式で与えられる放物線の一部分とする．
C1:y=-x2+2x,0≦x≦2
C2:y=-x2-2x,-2≦x≦0
また，aを実数とし，直線y=a(x+4)をℓとする．
(1)直線ℓとC1が異なる2つの共有点をもつためのaの値の範囲を求めよ．
以下，aが(1)の条件を満たすとする．このとき，ℓとC1で囲まれた領域の面積をS1，x軸とC2で囲まれた領域でℓの下側にある部分の面積をS2とする・・・

　国立 広島大学 2015年 第2問

座標平面上の放物線
Cn:y=x2-pnx+qn\qquad(n=1,2,3,・・・)
を考える．ただし，pn,qnは
p12-4q1=4,pn2-4qn＞0\qquad(n=2,3,4,・・・)
を満たす実数とする．Cnとx軸との二つの交点を結ぶ線分の長さをℓnとする．また，Cnとx軸で囲まれた部分の面積Snは
\frac{S_{n+1}}{Sn}=(\frac{n+2}{\sqrt{n(n+1)}})3\qquad(n=1,2,3,・・・)
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)Cnの頂点のy座標をℓnを用いて表せ．
\mon・・・

　国立 広島大学 2015年 第4問

α,βはα＞0，β＞0，α+β＜1を満たす実数とする．三つの放物線
C1:y=x(1-x),C2:y=x(1-β-x),C3:y=(x-α)(1-x)
を考える．C2とC3の交点のx座標をγとする．また，C1，C2，C3で囲まれた図形の面積をSとする．次の問いに答えよ．
(1)γをα,βを用いて表せ．
(2)Sをα,βを用いて表せ．
(3)α,βがα+β=1/4を満たしながら動くとき，Sの最大値を求めよ・・・

　国立 金沢大学 2015年 第2問

a,bは定数で，ab＞0とする．放物線C1:y=ax2+b上の点P(t,at2+b)における接線をℓとし，放物線C2:y=ax2とℓで囲まれた図形の面積をSとする．次の問いに答えよ．
(1)ℓの方程式を求めよ．
(2)ℓとC2のすべての交点のx座標を求めよ．
(3)点PがC1上を動くとき，Sは点Pの位置によらず一定であることを示せ．

　国立 九州大学 2015年 第1問

座標平面上の2つの放物線
\begin{array}{rcl}
C1&:&y=x2\
C2&:&y=-x2+ax+b\phantom{\frac{[]}{2}}
\end{array}
を考える．ただし，a,bは実数とする．
(1)C1とC2が異なる2点で交わるためのa,bに関する条件を求めよ．
以下，a,bが(1)の条件を満たすとし，C1とC2で囲まれる部分の面積が9であるとする．
(2)bをaを用いて表せ．
(3)aがすべての実数値をとって変化するとき，放物線C2の頂点が描く軌跡を座標平面上に図示せよ．

　国立 新潟大学 2015年 第3問

f(x)=x2-2x+2とする．放物線y=f(x)上の点P(p,f(p))における接線をℓ1とし，放物線y=f(x)上の点Q(p+1,f(p+1))における接線をℓ2とする．2直線ℓ1，ℓ2の交点をRとする．ただしpは定数である．次の問いに答えよ．
(1)直線ℓ1,ℓ2の方程式をそれぞれpを用いて表せ．
(2)交点Rの座標をpを用いて表せ．
(3)放物線y=f(x)と2直線ℓ1,ℓ2とで囲まれた部分の面積を求めよ．

　国立 新潟大学 2015年 第3問

座標平面上の原点Oを中心とする半径1の円周C上の点をA(a,b)とし，f(x)=(x-a)2+bとする．点B(0,-2)から放物線y=f(x)に引いた接線をℓ1，ℓ2とし，接点をそれぞれP(p,f(p))，Q(q,f(q))とする．ただしp＜qである．放物線y=f(x)と2直線ℓ1，ℓ2とで囲まれた部分の面積をSとする．次の問いに答えよ．
(1)接線ℓ1の方程式と接点Pの座標，および接線ℓ2の方程式と接点Qの座標をa,bを用いて表せ．
(2)面積S・・・