「放物線」について

　国立 お茶の水女子大学 2014年 第3問

放物線y=x2をC，y=-x2+2x+4をDとする．実数tを用いて表されるD上の点P(t,-t2+2t+4)におけるDの接線をℓとする．
(1)CとDが異なる2点で交わることを示し，そのx座標を求めよ．
(2)接線ℓの方程式をy=f(x)とする．f(x)を求めよ．
(3)(1)で求めた2交点のx座標をa,b(a＜b)とする．a＜t＜bを満たすtに対して，(2)で求めた接線ℓの方程式をy=f(x)とする．次の連立不等式の表す領域の面積をS(t)とする．
{\begin{array}{l}
y≧x2・・・

　国立 宮崎大学 2014年 第3問

放物線C:y=x2上の点(t,t2)(t＞0)におけるCの接線をℓとする．直線x=-1，放物線Cおよび接線ℓで囲まれる図形の面積をS1，直線x=5t，放物線Cおよび接線ℓで囲まれる図形の面積をS2とし，R=S2-S1とおく．このとき，次の各問に答えよ．
(1)Rの値を，tを用いて表せ．
(2)Rの最小値を求めよ．

　国立 長崎大学 2014年 第1問

pを正の定数として，放物線C:y=(x-p)2+p2を考える．Cの2本の接線ℓ,mを考え，接点のx座標を，それぞれa,bとする．ただし，a＜0，b＞0とする．次の問いに答えよ．
(1)ℓとmの方程式を求めよ．
(2)ℓ,mが原点を通るとき，a,bをpを用いて表せ．
(3)ℓ,mが原点を通るとき，放物線Cと2本の接線ℓおよびmによって囲まれた図形の面積をSとする．Sをpを用いて表せ．

　私立 慶應義塾大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)実数xの関数f(x)=x3-ax2+bx+4b-2は，\lim_{x→4}\frac{f(x)}{x-2}=-5を満たす．ただし，a,bは実数とする．このとき，
(i)bをaの式で表すと，b=[1]a-[2]である．
(ii)xの値が3から6まで変化するときの関数f(x)の平均変化率が，関数f(x)のx=2+√7における微分係数に等しいとき，a=[3]，b=[4]である．
(2)実数aについての方程式
A=\・・・

　私立 慶應義塾大学 2014年 第3問

以下の文章の空欄に適切な式を入れて文章を完成させなさい．また(3)(ii)に答えなさい．
放物線y=1/2x2+1/2をCで表す．C上にない点P(X,Y)(　ただし　Y＜1/2X2+1/2)からCに引いた2本の接線のうち，接点のx座標が小さい方をℓ1とし，大きい方をℓ2とする．またℓ1，ℓ2とCとの接点をそれぞれQ1，Q2とする．

(1)接線\・・・

　私立 慶應義塾大学 2014年 第2問

Oを原点とするxy平面上に円C:x2+y2=r2と放物線D:y=1/2x2-tがある．ただしrとtはそれぞれ正の実数の定数とする．点(0,-55)から放物線Dに傾きが正の接線を引くとき，その接線の傾きは3√6である．放物線D上にはx座標がそれぞれ-4√3，4√3である点P，Qがあり，円Cはこの2点P，Qを通る．このとき，
(1)t=[40][41]である．
(2)r=[42]である．
(3)円Cと2線分OP，・・・

　私立 慶應義塾大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)3次方程式x3+1=0の-1でない解の1つをαとするとき，
(3+7α)(7+3α)-4(1+α2)=[ア]α
となる．
(2)三角形ABCにおいて，
AB=2,∠ACB=π/4,∠BAC=π/3
であるとき，AC=[イ]である．
(3)X=(\begin{array}{rr}
2&1\
-2&-1
\end{array})，Y=(\begin{array}{rr}
-3&0\
0&-3
\end{array})および自然数nに対・・・

　私立 自治医科大学 2014年 第7問

放物線y=x2+ax+bと直線y=x+aが接しているとき，条件を満たす(a,b)は，何組あるか．ただし，a,bはともに整数であり，b＜10とする．

　私立 東北医科薬科大学 2014年 第1問

放物線y=-x2+8xと直線y=2x+t(t≧0)と直線x=0，x=6とで囲まれた図形の面積をS(t)とする．このとき，次の問に答えなさい．
(1)S(12)=[アイ]である．
(2)S(t)が3つの部分の面積の和になるのは[ウ]＜t＜[エ]のときである．このときS(t)は
[オ](t-[カ])+\frac{[キ]}{[ク]}([ケ]-t)\sqrt{[ケ]-t}
である．
(3)以下[ウ]＜t＜[エ]で考える．A=\sqrt{[ケ]-t}とおく．S(t)をAで表すと
S(t)=\frac{\kakko{・・・

　私立 北海道薬科大学 2014年 第3問

円(x-2)2+(y-3)2=9と放物線y=x2-4x+a+4（aは定数）は，2つの点で接している．
(1)aの値は\frac{[アイウ]}{[エ]}である．
(2)接点の座標は([オ]±\frac{\sqrt{[カキ]}}{[ク]},\frac{[ケ]}{[コ]})であり，2つの接線の方程式はy=±\sqrt{[サシ]}(x-[ス])+[セソタ]である（複号同順）．
(3)(2)で得られた2つの接線の交点の座標は([チ],[ツテト])である．
\end{enu・・・