「放物線」について

　国立 東京海洋大学 2015年 第3問

Oを原点とする座標平面上に放物線C:y=x2と点P(a,b)（ただし，a＞0かつb＜a2）がある．Pを通りy軸に平行な直線ℓが，Cおよびx軸と交わる点をそれぞれQ，Rとする．ベクトルPQ=ベクトルQMとなるように点Mを，またベクトルPR=ベクトルONとなるように点Nをとる．直線MNがCと交わる点をA，Bとする．
(1)直線APおよび直線BPは，それぞれCの接線であることを示せ．
(2)Cと線分ABで囲まれる図・・・

　国立 長岡技術科学大学 2015年 第4問

放物線y=x2-2x+1と直線y=4とで囲まれた図形をDとするとき，下の問いに答えなさい．
(1)Dの面積Sを求めなさい．
(2)Dをy軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めなさい．

　国立 山梨大学 2015年 第3問

座標平面上の放物線y=\frac{x2}{2}+5/2をCとし，aを2より小さい実数とする．点A(a,a)からCに引いた異なる2つの接線の接点を各々P(p,\frac{p2}{2}+5/2)，Q(q,\frac{q2}{2}+5/2)とする．ただし，p＜qとする．
(1)pおよびqをaを用いて表せ．
(2)θ=∠PAQ(0＜θ＜π/2)とするとき，tanθをaを用・・・

　国立 茨城大学 2015年 第2問

放物線C:y=-a2x2+1と直線ℓ:y=a(x+1)について，次の各問に答えよ．ただし，aはa＞0を満たす定数とする．
(1)Cとℓが異なる2つの共有点をもつとき，aの値の範囲を求めよ．
(2)ℓがCに接するとき，不等式x≦0の表す領域内においてCとℓおよびx軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

　国立 鳴門教育大学 2015年 第2問

mを定数とし，放物線y=x2+mx-2m+1をC1とします．次の問いに答えなさい．
(1)C1を原点に関して対称移動した後，さらにx軸方向に1，y軸方向に-mだけ平行移動した放物線をC2とするとき，放物線C2の方程式を求めなさい．
(2)2つの放物線C1,C2がともに，x軸と共有点をもつような定数mの値の範囲を求めなさい．

　国立 滋賀医科大学 2015年 第2問

a＜bとする．放物線y=x2上の2点A(a,a2)，B(b,b2)におけるそれぞれの接線の交点をCとおく．∠ACB={60}°であるとする．
(1)a+b=0のとき，aを求めよ．
(2)ある正の実数kを用いてベクトルCA=-k(1,2a)，ベクトルCB=k(1,2b)と表されることを示せ．
(3)a＜-\frac{√3}{6},b＞\frac{√3}{6}を示せ．
(4)bをaを用いて表せ．

　国立 滋賀医科大学 2015年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)さいころを2回投げて，出た目を順にa,bとおく．関数
f(x)=ax
についてf(b)=6となる確率を求めよ．
(2)さいころを4回投げて，出た目を順にa,b,c,dとおく．関数
f(x)=ax3+bx2+cx
についてf(d)が素数となる確率を求めよ．
(3)さいころを6回投げて，出た目を順にa,b,c,d,e,fとおく．2つの放物線
y=ax2+bx+c,y=dx2+ex+f
がただ1つの共有点をもつ確率を求めよ．

　国立 和歌山大学 2015年 第4問

放物線C:y=1/4x2と点P(0,-4)がある．直線ℓ,m,nと点Qを以下のように定める．
直線ℓは，PからCに引いた接線のうち，傾きが正のものとし，その接点をQとする．
直線mは，Qを通り，ℓに垂直なものとする．
直線nは，mとCのQ以外の交点を通り，y軸に平行なものとする．
次の問いに答えよ．
(1)接線ℓの方程式と点Qの座標を求めよ．
(2)直線m・・・

　国立 信州大学 2015年 第3問

放物線y=ax2+bx+c(a＞0)をCとし，直線y=2x-1をℓとする．
(1)放物線Cが点(1,1)で直線ℓと接し，かつx軸と共有点をもつためのa,b,cが満たす必要十分条件を求めよ．
(2)a=8/9のとき，(1)の条件のもとで，放物線Cと直線ℓおよびx軸とで囲まれた部分のうち，第1象限にある部分の面積を求めよ．

　国立 信州大学 2015年 第2問

放物線y=ax2+bx+c(a＞0)をCとし，直線y=2x-1をℓとする．
(1)放物線Cが点(1,1)で直線ℓと接し，かつx軸と共有点をもつためのa,b,cが満たす必要十分条件を求めよ．
(2)a=8/9のとき，(1)の条件のもとで，放物線Cと直線ℓおよびx軸とで囲まれた部分のうち，第1象限にある部分の面積を求めよ．