「放物線」について

　私立 上智大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)座標平面において，1次関数y=4x+2が表す直線をℓとし，ℓ上に点P(1,6)をとる．また，2次関数y=f(x)が表す放物線をCとする．
(i)Cが点Pでℓと接し，かつCが点(0,1)を通るとき，
f(x)=[ア]x2+[イ]x+[ウ]
である．
(ii)Cが点Pでℓと接するとき，Cの頂点は直線
y=[エ]x+[オ]
上に存在する。　
(2)複素数zの虚部を\te・・・

　私立 上智大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)座標平面上の放物線
y={(x-29)}2-3600
とx軸の共有点のx座標は[ア]と[イ]である．ただし[ア]＜[イ]とする．
(2)x+y=1かつ0＜x＜1を満たす実数x,yに対して
A=1/x+1/y,B=(1+\frac{1}{x2})(1+\frac{1}{y2})
とおく．
(i)Aのとり得る値の最小値は[ウ]である．
(ii)すべてのx,yに対して
B=[エ]A2+[オ]A+\kakko・・・

　私立 東京理科大学 2015年 第2問

tを0＜t＜1を満たす実数として，関数f(x)を
f(x)=-x2+(1+t2)x-t2
と定める．座標平面において，原点Oから放物線y=f(x)へ引いた接線のうち，接点のx座標が正のものを考える．その接点をP(p,f(p))とおく．
(1)点Pの座標をtを用いて表せ．
(2)放物線y=f(x)のx≦pの部分，x軸，直線x=pで囲まれる図形の面積をS1とする．S1をtを用いて表せ．
(3)線分OP，x軸，直線x=pで囲まれる図形の面積をS2とし，(2)のS1に対してS=S2-S1とお・・・

　私立 東京理科大学 2015年 第2問

a＞0を定数とし，座標平面上の点P(p,0)から放物線C:y=ax2+2aに2本の接線PQ1，PQ2を引く．ここでQ1，Q2は接点で，Q1のx座標q1はQ2のx座標q2より小さいとする．
(1)q1とq2を，pを用いて表せ．
(2)直線Q1Q2の方程式を，aとpを用いて表せ．
(3)S1を直線Q1Q2と曲線Cで囲まれた部分の面積，S2を曲線Cと線分PQ1，PQ2で囲まれた部分の面積とする．S1とS2を・・・

　私立 早稲田大学 2015年 第4問

点Pが放物線y=2x2-x上を動くとき，点Pにおける放物線y=2x2-xの接線と放物線y=-x2+1とで囲まれる部分の面積の最小値は
\frac{[ス]\sqrt{[セ]}}{54}
である．

　私立 早稲田大学 2015年 第4問

放物線y=-x2+2x+2とx軸によって囲まれた部分をDとする．
(1)Dをx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積は\frac{[ス]\sqrt{[セ]}}{[ソ]}πである．
(2)Dをy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積は\frac{[タ]+[チ]\sqrt{[ツ]}}{[テ]}πである．

　私立 北星学園大学 2015年 第1問

定義域を-2≦x≦3とする放物線y=ax2+2ax+bがある．ただし，その形は下に凸であるとする．以下の問に答えよ．
(1)この関数の最大値が6，最小値が-2であるとき，定数a,bの値を求めよ．
(2)(1)で求めた放物線を原点に関して対称移動したあとの放物線の式を求めよ．

　私立 東北学院大学 2015年 第3問

放物線C:y=x2-xについて以下の問いに答えよ．ただしa＞0とする．
(1)点(0,-a)を通るCの2つの接線の方程式およびそれぞれの接点の座標を求めよ．
(2)(1)で求めた2つの接点を通る直線およびCで囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)(1)で求めた2つの接線およびCで囲まれた部分の面積を求めよ．

　私立 広島工業大学 2015年 第4問

放物線y=x2+ax+bとx軸との交点の座標は(sinθ,0)，(√3cosθ,0)である．この放物線とx軸とで囲まれる部分の面積をSとするとき，次の問いに答えよ．ただし，a,bは定数とし，π/2≦θ≦πとする．
(1)a,bをθを用いて表せ．
(2)a=0のとき，Sの値を求めよ．
(3)Sの最大値を求めよ．

　私立 学習院大学 2015年 第4問

放物線C:y=x2上の点P(t,t2)に対して，PにおけるCの接線をLとする．tが0＜t≦1の範囲を動くとき，Lと直線x=1とx軸とで囲まれる三角形の面積の最大値と，最大値を与えるtの値を求めよ．