「放物線」について

　私立 広島工業大学 2010年 第3問

放物線C:y=x2+aがあり，直線ℓ:y=2bxはCの接線である．ただし，aとbは定数でb＞0とする．
(1)aをbで表せ．
(2)Cとℓおよびy軸で囲まれた部分の面積S1をbを用いて表せ．
(3)Cとℓの接点からx軸へ下ろした垂線とℓおよびx軸で囲まれた部分の面積をS2とする．このとき，S2と(2)で求めたS1の比の値\frac{S2}{S1}を求めよ．

　私立 日本福祉大学 2010年 第3問

放物線y=x2+2x+4に原点から2本の接線を引くとき，放物線と2本の接線で囲まれる部分の面積を求めよ．

　公立 大阪市立大学 2010年 第3問

a,bを正の実数とし，座標平面上の放物線C:y=ax2+bを考える．t,sは正の実数とし，点P(t,at2+b)におけるCの接線をℓP，点Q(s,as2+b)におけるCの接線をℓQで表す．ℓPは原点を通っているとする．次の問いに答えよ．
(1)ℓPの傾きが1未満となるための必要十分条件を，aとbを用いて表せ．
(2)ℓPの傾きは1未満とし，ℓPとx軸がなす鋭角をθと表す．QをℓQとx軸のなす鋭角が2θになるようにとるとき，ℓQの傾きをaとbを用い・・・

　公立 大阪府立大学 2010年 第3問

f(x)=2x2-4x+3,g(x)=-x2-2x-2とする．次の問いに答えよ．
(1)放物線y=f(x)の頂点と放物線y=g(x)の頂点を通る直線とこれらの放物線との交点をすべて求めよ．
(2)放物線y=f(x)と放物線y=g(x)の両方に接する2本の直線の交点を求めよ．

　公立 高崎経済大学 2010年 第2問

2つの放物線ℓ1:y=x2とℓ2:y=-2x2+3x+k（kは定数）がある．以下の問に答えよ．
(1)ℓ1とℓ2が接するときのkの値と，接点Pの座標を求めよ．
(2)ℓ1とℓ2が接するとき，OQ=PQとなるようなℓ2上の点Qのx座標を求めよ．ただし，Oは原点である．

　公立 県立広島大学 2010年 第4問

放物線y=1/2x2について，次の問いに答えよ．
(1)点P(1,1/2)における接線ℓ1の方程式を求めよ．
(2)点Pを通り直線ℓ1に直交する直線をℓ2とする．直線ℓ2とx軸との交点Aの座標を求めよ．
(3)点Aを中心とし，直線ℓ1に接する円の方程式を求めよ．
(4)(3)の円とx軸との交点のうち原点に近い方の点Bの座標を求めよ．
(5)放物線，円弧BPおよびx軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

　公立 滋賀県立大学 2010年 第2問

座標平面の原点Oを中心とする半径rの円をCとする．C上の2点P1，P2を原点に関して対称な位置にとる．また，点Qを平面上の任意の点とし，L={QP1}2+{QP2}2とおく．
(1)Qを固定したとき，LはP1，P2のとり方に依存せず一定であることを示せ．
(2)Qが放物線y=-x2+5x-8上を動くとき，Lの最小値とそのときのQの座標を求めよ．

　公立 京都府立大学 2010年 第3問

定数aを正の実数とする．放物線C:y=ax2上の点Pのx座標をtとする．PにおけるCの法線をℓとし，Cとℓで囲まれた部分の面積をSとする．ただし，t＞0とする．以下の問いに答えよ．
(1)CとℓのP以外の交点をQとする．Qのx座標をa,tを用いて表せ．
(2)Sをa,tを用いて表せ．
(3)Sが最小となるときのtをaを用いて表せ．

　公立 大阪府立大学 2010年 第6問

xy平面上に2直線
ℓ:y=-x+5,m:y=3x-3
が与えられている．曲線Cは，y=x2を平行移動した放物線であり，ℓと点Pで接し，mと点Qで接しているとする．
(1)Cの方程式を求めよ．
(2)PとQの座標をそれぞれ求めよ．
(3)Cとℓ,mで囲まれた部分の面積を求めよ．