「放物線」について

　私立 龍谷大学 2015年 第1問

次の問いに答えなさい．
(1)ベクトルベクトルa,ベクトルbが，ベクトルa・ベクトルa=4，ベクトルa・ベクトルb=-5，ベクトルb・ベクトルb=9を満たすとき，
{|\abs{ベクトルb|ベクトルa+|ベクトルa|ベクトルb}}2
の値を求めなさい．
(2)直線y=kx-k2がkの値によらず放物線y=ax2に接するとき，aの値を求めなさい．
(3)曲線y=(1-√x)2とx軸およびy軸で囲まれた図形の面積を求めなさい．

　公立 大阪市立大学 2015年 第1問

座標平面上に2点P(0,2)，Q(1,0)をとる．また，tを実数とし，放物線y=(x-t)2をCとする．次の問いに答えよ．
(1)CがPを通るときのtの値を求めよ．
(2)Cが直線PQに接するときのtの値と接点の座標を求めよ．
(3)線分PQとCの共有点の個数がtによりどのように変化するか記述せよ．

　公立 大阪市立大学 2015年 第3問

m＞0とする．座標平面上の点Pに対して，Pを通る傾きmの直線とy軸の交点をRとし，点QをベクトルRQ=mベクトルRPとなるように定める．次の問いに答えよ．
(1)Pの座標を(a,b)とするとき，Qの座標をm,a,bを用いて表せ．
(2)点Pが放物線y=x2-x上を動くとき，対応する点Qの軌跡をCとする．Cの方程式をy=f(x)とするとき，f(x)を求めよ．
(3)(2)のf(x)に対し，I(m)=∫0mf(x)dxとする．mをm＞0の範・・・

　公立 公立はこだて未来大学 2015年 第3問

座標平面の原点をOとし，放物線y=x2の上を相異なる2点A(a,a2)，B(b,b2)は∠AOBが直角になるように動くとする．また，点Aと点Bを通る直線をℓとする．以下の問いに答えよ．
(1)aとbがみたす関係を求めよ．
(2)直線ℓの方程式をy=px+qとする．qの値を求めよ．
(3)原点Oから直線ℓに下ろした垂線をOHとする．点Hの軌跡を求めよ．

　国立 東京大学 2014年 第3問

uを実数とする．座標平面上の2つの放物線
\begin{array}{ll}
C1:&y=-x2+1\
C2:&y=(x-u)2+u
\end{array}
を考える．C1とC2が共有点をもつようなuの値の範囲は，ある実数a,bにより，a≦u≦bと表される．
(1)a,bの値を求めよ．
(2)uがa≦u≦bをみたすとき，C1とC2の共有点をP1(x1,y1)，P2(x2,y2)とする．ただし，共有点が1点のみのときは，P1とP2は一致し，ともにその共有点を表すとする．
2\ab・・・

　国立 一橋大学 2014年 第2問

0＜t＜1とし，放物線C:y=x2上の点(t,t2)における接線をℓとする．Cとℓとx軸で囲まれる部分の面積をS1とし，Cとℓと直線x=1で囲まれる部分の面積をS2とする．S1+S2の最小値を求めよ．

　国立 広島大学 2014年 第2問

a1,a2,a3は定数で，a1＞0とする．放物線C:y=a1x2+a2x+a3上の点P(2,4a1+2a2+a3)における接線をℓとし，ℓとx軸との交点をQ(q,0)，ℓとy軸との交点をR(0,a4)とする．a1，a2，a3，a4がこの順に等差数列であるとき，次の問いに答えよ．
(1)a2,a3,a4をa1を用いて表せ．
(2)qの値を求めよ．
(3)放物線C，接線ℓ，およびy軸で囲まれた部分の面積をSとする．S=qとなるとき，a1を求めよ．

　国立 北海道大学 2014年 第1問

2つの放物線
C1:y=-x2+3/2,C2:y=(x-a)2+a(a＞0)
がある．点P1(p,-p2+3/2)におけるC1の接線をℓ1とする．
(1)C1とC2が共有点を持たないためのaに関する条件を求めよ．
(2)ℓ1と平行なC2の接線ℓ2の方程式と，ℓ2とC2の接点P2の座標をa,pを用いて表せ．
(3)C1とC2が共有点を持たないとする．(2)で求めたP2とP1を結ぶ線分がℓ1と垂直になるとき，p・・・

　国立 熊本大学 2014年 第3問

放物線C:y=ax2+bx+c(a≠0)が点P(1,-2)とQ(5,10)を通るとし，P，QにおけるCの接線をそれぞれℓ，mとする．以下の問いに答えよ．
(1)b,cをそれぞれaを用いて表せ．
(2)ℓとmの交点のy座標が-4であるとき，a,b,cを求めよ．
(3)(2)で求めたa,b,cについて，放物線Cとℓ，mで囲まれた部分の面積を求めよ．

　国立 金沢大学 2014年 第1問

放物線C:y=x2+2x上の2点(a,a2+2a)，(b,b2+2b)における接線をそれぞれℓa，ℓbとするとき，次の問いに答えよ．ただし，a＜bとする．
(1)2直線ℓa,ℓbの方程式を求めよ．また，ℓaとℓbの交点のx座標を求めよ．
(2)放物線Cと2直線ℓa,ℓbとで囲まれた図形の面積Sを求めよ．
(3)2直線ℓa,ℓbが垂直に交わるようにa,bが動くとき，a,bがみたす関係式を求めよ．また，そのときの面積Sの最小値とそれを与えるa,bの値を求めよ．
・・・