「放物線」について

　国立 浜松医科大学 2014年 第1問

pを正の実数として，放物線C:y2=4pxを定める．Cの頂点をO，焦点をF，準線をℓ:x=-pとする．C上の2点A(a,2\sqrt{pa})(a＞0)とB(b,-2\sqrt{pb})(b＞0)を考えるとき，以下の問いに答えよ．
(1)AにおけるCの接線をℓ(A)とし，ℓ(A)と準線ℓとの交点をPとする．ℓ(A)の方程式をかいて，Pの座標を求めよ．また，線分APの長さは線分AFの長さより大きいことを示せ．
(2)接線ℓ(\・・・

　国立 福井大学 2014年 第5問

Oを原点とする座標平面上に点A(2,0)と放物線C:y=1/2x2-3x+6があり，C上の点でx座標がtと2tであるものをそれぞれP，Qとおく．このとき，以下の問いに答えよ．ただしt＞0とする．
(1)3点A，P，Qが一直線上にあるときのtの値をt0とおく．t0の値を求めよ．
(2)t=t0のとき，△OAQの周および内部と，不等式y≧1/2x2-3x+6の表す領域との共通部分の面積を求めよ．
\mo・・・

　国立 和歌山大学 2014年 第4問

箱の中に，1から4までの整数が1つずつ重複せずに書かれた4枚のカードが入っている．この箱から2枚のカードを同時に取り出し，書かれた整数のうち，小さい方をa，大きい方をbとする．また，放物線C:y=x2上の点(a,a2)における接線をℓとし，ℓに平行で点(b,b2)を通る直線をmとする．さらに，放物線Cと直線mで囲まれた部分の面積をSとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)直線mの方程式をa,bを用いて表せ．
(2)Sをa,bを用いて表せ．
(3)Sの期待値を求めよ．
・・・

　国立 山口大学 2014年 第1問

kを正の実数とする．座標平面において，方程式y=-x2-2x-1が表す放物線C1および方程式y=kx2が表す放物線C2がある．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)放物線C1の接線であり，C2の接線でもあるような直線は2つある．この2つの直線の方程式を求めなさい．
(2)(1)で求めた2つの直線の交点をPとする．kが正の実数の範囲を動くときのPの軌跡を求め，図示しなさい．

　国立 島根大学 2014年 第2問

a,bはa＜bをみたす実数とする．放物線C:y=x2上の2点A(a,a2)，B(b,b2)を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)直線ABの方程式をaとbを用いて表せ．
(2)放物線Cと直線ABで囲まれた図形の面積Sをaとbを用いて表せ．
(3)a＜t＜bの範囲で点P(t,t2)が動くとき，放物線Cと直線APで囲まれた図形の面積をS1(t)，放物線Cと2直線AB，APで囲まれた図形の面積をS2(t)とする．このとき，等式S2(t)=7S1(t)をみた・・・

　国立 島根大学 2014年 第3問

aを実数とし，f(x)=x2+ax+a+3とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)2次方程式x2+ax+a+3=0が正の実数解のみをもつようなaの値の範囲を求めよ．
(2)放物線y=f(x)の頂点のy座標をg(a)とする．このとき，aが(1)で求めた範囲を動くとき，g(a)の最大値を求めよ．

　国立 島根大学 2014年 第2問

a,bはa＜bをみたす実数とする．放物線C:y=x2上の2点A(a,a2)，B(b,b2)を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)直線ABの方程式をaとbを用いて表せ．
(2)放物線Cと直線ABで囲まれた図形の面積Sをaとbを用いて表せ．
(3)a＜t＜bの範囲で点P(t,t2)が動くとき，放物線Cと直線APで囲まれた図形の面積をS1(t)，放物線Cと2直線AB，APで囲まれた図形の面積をS2(t)とする．このとき，等式S2(t)=7S1(t)をみた・・・

　国立 山形大学 2014年 第1問

座標平面上の点(-2,1)をA，点(a,1/4a2)をBとする．ただし，0＜a＜2とする．また，y=1/4x2で表される放物線をCとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)放物線Cと線分ABで囲まれる部分の面積Sをaの式で表せ．
(2)直線ABが直線x=2と交わる点をDとする．放物線Cと線分BDおよび直線x=2で囲まれる部分の面積Tをaの式で表せ．
(3)次の条件によって定められる数列{pn},{qn}・・・

　国立 茨城大学 2014年 第3問

放物線y=x2をCとして，C上に点A(-1,1)をとる．正の実数aに対して，点B(a,a2)におけるCの接線をℓ1とし，2点A，Bを通る直線をℓ2とする．また，Cとℓ1およびx軸とで囲まれた図形の面積をS1とし，Cとℓ2で囲まれた図形のx≧0の部分の面積をS2とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)接線ℓ1の方程式を求めよ．
(2)2＜\frac{S2}{S1}＜2.01を満たすためのaの条件を求めよ．

　国立 宮崎大学 2014年 第5問

座標平面において，x座標とy座標がともに整数である点を格子点という．nを自然数とし，放物線y=x2，直線x=nおよびx軸で囲まれた図形をSnとする．Snの境界上にある格子点の個数をanとし，Snの境界を除いた内部にある格子点の個数をbnとするとき，次の各問に答えよ．
(1)anを，nを用いて表せ．
(2)bnを，nを用いて表せ．
(3)Snの面積をcnとするとき，極限値\lim_{n→∞}1/n(\frac{an}{2}+bn-cn)を求めよ．