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数列{pn}を次のように定める.
p1=1,p2=2,p_{n+2}=\frac{p_{n+1}2+1}{pn}(n=1,2,3,・・・)
(1)\frac{p_{n+1}2+pn2+1}{p_{n+1}pn}がnによらないことを示せ.
(2)すべてのn=2,3,4,・・・に対し,p_{n+1}+p_{n-1}をpnのみを使って表せ.
(3)数列{qn}を次のように定める.
q1=1,q2=1,q_{n+2}=q_{n+1}+qn(n=1,2,3,・・・)
すべてのn=1,2,3,・・・に対し,pn=q_{2n-1}を示せ.
国立 埼玉大学 2015年 第3問数列{an}は初項が4で,A,Bをある定数として
a_{n+1}=\frac{Aan+B}{an+2}(n=1,2,3,・・・)
で与えられている.数列{bn}は等比数列であり,関係式
anbn-an+bn+3=0(n=1,2,3,・・・)
をみたす.このとき下記の設問に答えよ.
(1)A,Bを求めよ.
(2)数列{bn}の一般項を求めよ.
(3)数列{an}の一般項を求めよ.
国立 北海道大学 2015年 第2問pは0でない実数とし
a1=1,a_{n+1}=1/pan-(-1)^{n+1}(n=1,2,3,・・・)
によって定まる数列{an}がある.
(1)bn=pnanとする.b_{n+1}をbn,n,pで表せ.
(2)一般項anを求めよ.
国立 大阪大学 2015年 第1問自然数nに対して関数fn(x)を
fn(x)=\frac{x}{n(1+x)}log(1+x/n)(x≧0)
で定める.以下の問いに答えよ.
(1)∫0nfn(x)dx≦∫01log(1+x)dxを示せ.
(2)数列{In}を
In=∫0nfn(x)dx
で定める.0≦x≦1のときlog(1+x)≦log2であることを用いて数列{In}が収束することを示し,その極限値を求めよ.ただし,\lim_{x→∞}\frac{logx}{x}=0であることは・・・
国立 北海道大学 2015年 第2問p,qは正の実数とし,
a1=0,a_{n+1}=pan+(-q)^{n+1}(n=1,2,3,・・・)
によって定まる数列{an}がある.
(1)bn=\frac{an}{pn}とする.数列{bn}の一般項をp,q,nで表せ.
(2)q=1とする.すべての自然数nについてa_{n+1}≧anとなるようなpの値の範囲を求めよ.
国立 一橋大学 2015年 第5問次の\tocichi,\tocniのいずれか一方を選択して解答せよ.
\mon[\tocichi]数列{ak}をak=k+cos(\frac{kπ}{6})で定める.nを正の整数とする.
\mon[(1)]Σ_{k=1}^{12n}akを求めよ.
\mon[(2)]Σ_{k=1}^{12n}{ak}2を求めよ.
\mon[\tocni]a,b,cは異なる3つの正の整数とする.次のデータは2つの科目XとYの試験を受けた10人の得点をまとめたものである.
\beg・・・
国立 広島大学 2015年 第2問座標平面上の放物線
Cn:y=x2-pnx+qn\qquad(n=1,2,3,・・・)
を考える.ただし,pn,qnは
p12-4q1=4,pn2-4qn>0\qquad(n=2,3,4,・・・)
を満たす実数とする.Cnとx軸との二つの交点を結ぶ線分の長さをℓnとする.また,Cnとx軸で囲まれた部分の面積Snは
\frac{S_{n+1}}{Sn}=(\frac{n+2}{\sqrt{n(n+1)}})3\qquad(n=1,2,3,・・・)
を満たすとする.次の問いに答えよ.
(1)Cnの頂点のy座標をℓnを用いて表せ.
\mon・・・
国立 神戸大学 2015年 第2問数列{an},{bn},{cn}がa1=5,b1=7をみたし,さらにすべての実数xとすべての自然数nに対して
x(a_{n+1}x+b_{n+1})=∫_{cn}^{x+cn}(ant+bn)dt
をみたすとする.以下の問に答えよ.
(1)数列{an}の一般項を求めよ.
(2)cn=3^{n-1}のとき,数列{bn}の一般項を求めよ.
(3)cn=nのとき,数列{bn}の一般項を求めよ.
国立 広島大学 2015年 第2問nを自然数とし,pn,qnを実数とする.ただし,p1,q1はp12-4q1=4を満たすとする.2次方程式x2-pnx+qn=0は異なる実数解αn,βnをもつとする.ただし,αn<βnとする.cn=βn-αnとおくとき,数列{cn}は
\frac{c_{n+1}}{cn}=\frac{n+2}{\sqrt{n(n+1)}}(n=1,2,3,・・・)
を満たすとする.次の問いに答えよ.
(1)rn=log2(n√n+√n)とするとき,\frac{n+2}{\sqrt{n(n+1)}}をrn,r_{n+1}を用いて表・・・
国立 岡山大学 2015年 第3問数列{an}は,関係式
a1=1,a2=2,a_{n+2}-4a_{n+1}+3an=1(n=1,2,3,・・・)
を満たすとする.bn=a_{n+1}-an(n=1,2,3,・・・)とおくとき,次の問いに答えよ.
(1)b_{n+1}とbnの間に成り立つ関係式を求めよ.
(2)数列{bn}の一般項を求めよ.
(3)数列{an}の一般項を求めよ.