「数列」について

　国立 横浜国立大学 2014年 第2問

rを0＜r＜1をみたす定数とする．次の問いに答えよ．
(1)数列{an}をan=[n/3]で定める．ただし，実数xに対して，[x]はl≦x＜l+1をみたす整数lを表す．このとき，
\lim_{n→∞}Σ_{k=1}^{3n}(-1)^{k-1}r^{ak}
を求めよ．
(2)数列{bn}を
\begin{array}{ll}
n　が奇数のとき　&bn=n\
n　が偶数のとき　&bn=2n
\end{array}
で定める．このとき，
\lim_{n→∞}1/nΣ_{k=1}^{2n}(-1)^{k-1}r^{・・・

　国立 横浜国立大学 2014年 第3問

rを0＜r＜1をみたす定数とする．数列{an}に対して
Sn=Σ_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}r^{ak}(n=1,2,3,・・・)
とする．次の問いに答えよ．ただし以下では，実数xに対して，[x]はl≦x＜l+1をみたす整数lを表す．
(1)数列{an}をan=[n/2]で定めるとき，S_{2n}をrとnの式で表せ．
(2)数列{an}をan=[n/3]で定めるとき，S_{3n}をrとnの式で表せ．
(3)a1=0，an≦a_{n+1}\l・・・

　国立 静岡大学 2014年 第3問

pを0＜p＜1/6を満たす実数とする．次のように数列{an}を帰納的に定義する．a1=0とし，第n項anを用いた関数
fn(x)=2x3-3px2+6anx-1
が極大値と極小値をもつならば，第n+1項a_{n+1}をfn(x)の極大値と極小値の和により定める．そうでないならば，a_{n+1}=0と定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)f1(x)が極大値と極小値をもつことを示し，a2をpを用いて表せ．
(2)kを自然数とする．関数fk(x)が極大値と極小値をもつならば，関数f_{k+1}(x)も極・・・

　国立 京都大学 2014年 第4問

次の式
a1=2,a_{n+1}=2an-1(n=1,2,3,・・・)
で定められる数列{an}を考える．
(1)数列{an}の一般項を求めよ．
(2)次の不等式
{an}2-2an＞10^{15}
を満たす最小の自然数nを求めよ．ただし，0.3010＜log_{10}2＜0.3011であることは用いてよい．

　国立 静岡大学 2014年 第4問

pを0＜p＜1/6を満たす実数とする．次のように数列{an}を帰納的に定義する．a1=0とし，第n項anを用いた関数
fn(x)=2x3-3px2+6anx-1
が極大値と極小値をもつならば，第n+1項a_{n+1}をfn(x)の極大値と極小値の和により定める．そうでないならば，a_{n+1}=0と定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)f1(x)が極大値と極小値をもつことを示し，a2をpを用いて表せ．
(2)kを自然数とする．関数fk(x)が極大値と極小値をもつならば，関数f_{k+1}(x)も極・・・

　国立 埼玉大学 2014年 第1問

a1=3，a_{n+1}=\frac{5an-4}{2an-1}(n=1,2,3,・・・)で定義される数列{an}について，以下の問いに答えよ．
(1)すべての自然数nに対し，an＞2であることを示せ．
(2)bn=\frac{1}{an-2}とおく．数列{bn}の一般項を求めよ．
(3)極限\lim_{n→∞}anを求めよ．

　国立 名古屋大学 2014年 第3問

xy平面のy≧0の部分にあり，x軸に接する円の列C1,C2,C3,・・・を次のように定める．
\begin{itemize}
C1とC2は半径1の円で，互いに外接する．
正の整数nに対し，C_{n+2}はCnとC_{n+1}に外接し，CnとC_{n+1}の弧およびx軸で囲まれる部分にある．
\end{itemize}
円Cnの半径をrnとする．
(1)等式\frac{1}{\sqrt{r_{n+2}}}=\frac{1}{\sqrt{rn}}+\frac{1}{\sqrt{r_{n+1}}}を示せ．
(2)すべての正の整数nに対して\display・・・

　国立 名古屋大学 2014年 第4問

負でない整数Nが与えられたとき，a1=N，a_{n+1}=[\frac{an}{2}](n=1,2,3,・・・)として数列{an}を定める．ただし[a]は，実数aの整数部分（k≦a＜k+1となる整数k）を表す．
(1)a3=1となるようなNをすべて求めよ．
(2)0≦N＜2^{10}をみたす整数Nのうちで，Nから定まる数列{an}のある項が2となるようなものはいくつあるか．
(3)0から2^{100}-1までの2^{100}個の整数から等しい確率でNを選び，数列{an}を定める．次の・・・

　国立 広島大学 2014年 第4問

α＞1とする．数列{an}を
a1=α,a_{n+1}=\sqrt{\frac{2an}{an+1}}(n=1,2,3,・・・)
によって定める．次の不等式が成り立つことを証明せよ．
(1)an＞1(n=1,2,3,・・・)
(2)√x-1≦1/2(x-1)(　ただし，　x＞1　とする．　)
(3)an-1≦(1/4)^{n-1}(α-1)(n=1,2,3,・・・)

　国立 北海道大学 2014年 第2問

次の条件で定められる数列{an}を考える．
a1=1,a2=1,a_{n+2}=a_{n+1}+3an(n=1,2,3,・・・)
(1)以下が成立するように，実数s,t(s＞t)を定めよ．
{\begin{array}{l}
a_{n+2}-sa_{n+1}=t(a_{n+1}-san)\
a_{n+2}-ta_{n+1}=s(a_{n+1}-tan)
\end{array}.(n=1,2,3,・・・)
(2)一般項anを求めよ．