「数列」について

　国立 大阪教育大学 2014年 第1問

α,βは正の実数とする．次の条件によって定義される数列{an},{bn}について，以下の問に答えよ．
a1=α,b1=β,
a_{n+1}=αan-βbn,b_{n+1}=βan+αbn(n=1,2,3,・・・)
(1)α2+β2≦1が成り立つならば，任意の自然数nに対して{an}2+{bn}2≦1が成り立つことを示せ．
(2)α=cosθ,β=sinθ(0＜θ＜π/2)と・・・

　国立 山梨大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)関数f(x)=e^{1+sin2x}の導関数f´(x)を求めよ．
(2)条件a1=1，a2=2，a_{n+2}=3a_{n+1}-2an(n=1,2,3,・・・)で定められる数列{an}の一般項を求めよ．
(3)関数f(x)=\frac{4x}{x2+1}の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点および漸近線を調べ，曲線y=f(x)の概形をかけ．

　国立 大分大学 2014年 第2問

数列の和について次の一連の問いに答えなさい．
(1)Σ_{k=1}nk=1/2n(n+1)を示しなさい．
(2)多項式(k+1)3-k3の展開を利用してΣ_{k=1}nk2=1/6n(n+1)(2n+1)を示しなさい．
(3)Σ_{k=1}nk3=1/4n2(n+1)2を示しなさい．
(4)Σ_{k=1}nk4を求めなさい．結果は因数分解すること．

　国立 岐阜大学 2014年 第5問

数列{an}を
a1=3/4,a_{n+1}=1-\frac{1}{4an}(n=1,2,3,・・・)
で定める．以下の問に答えよ．
(1)a2,a3,a4,a5,a6を求めよ．また，それより一般項anを推定せよ．
(2)数学的帰納法により，(1)の一般項の推定が正しいことを証明せよ．
(3)nを正の整数とする．すべての実数xに対して，不等式
anx2+x+1≧a_{n+1}
が成り立つことを示せ．
(4)nを正の整数とする．すべての実数xに対して，不等式
x^{2n}+x^{2n-1}+x^{2n-2}+・・・+x2+・・・

　国立 東京海洋大学 2014年 第1問

次の問に答えよ．
(1)3次関数f(x)=x3-x2+12の極値を求め，y=f(x)のグラフをかけ．
(2)数列{an}を
a1=2,a_{n+1}=1/12({an}3-{an}2+12)(n=1,2,3,・・・)
で定めるとき，すべての自然数nに対して，1＜an＜3が成り立つことを示せ．
(3){an}を(2)で定められた数列とするとき，すべての自然数nに対して，a_{n+1}＜anが成り立つことを示せ．

　国立 宮城教育大学 2014年 第1問

数列{an}は
a1=a2=-1,
a_{n+2}-(n+2)a_{n+1}+nan=(n2+n+1)(n+1)!(n=1,2,3,・・・)
をみたすとする．次の問いに答えよ．
(1)数学的帰納法を用いて，
a_{n+1}-nan=(n-1)(n+1)!(n=1,2,3,・・・)
が成り立つことを示せ．
(2)bn=\frac{an}{(n-1)!}とおくとき，(1)を用いて数列{bn}の一般項を求めよ．
(3)数列{an}の一般項を求めよ．

　国立 徳島大学 2014年 第1問

A=(\begin{array}{cc}
3/4&1/2\
1/4&1/2
\end{array})とし，行列Aで表される1次変換をfとする．fによって点P(0,1)が点P1(x1,y1)に移されるとする．さらに，n=1,2,3,・・・に対して，点Pn(xn,yn)がfによって点P_{n+1}(x_{n+1},y_{n+1})に移されるとする．
(1)すべての自然数nについて，点Pnは直線x+y=1上にあることを証明せよ・・・

　国立 徳島大学 2014年 第4問

pを素数とする．初項，公差がともに5pの等差数列を{an}とする．数列{bn}は公差がpの等差数列でΣ_{n=1}pan=a1+ap+5Σ_{n=1}pbnを満たす．
(1)b1を求めよ．
(2)p=2のとき，\frac{an}{bn}の値が自然数となるようなnをすべて求めよ．
(3)p≧3とする．\frac{an}{bn}の値が自然数となるようなpとnの組(p,n)をすべて求めよ．

　国立 群馬大学 2014年 第2問

kを自然数とする．数列{an}において，初めのk項の和をT1，次のk項の和をT2，その次のk項の和をT3とし，以下同様にT4,T5,・・・を定めるとき，次の問いに答えよ．
(1){an}が等比数列でk=4とする．T1=5，T2=80のとき，{an}の一般項を求めよ．ただし，公比は実数とする．
(2){an}が等差数列ならば{Tn}も等差数列であることを証明せよ．

　国立 高知大学 2014年 第2問

{an},{bn}を{an}2-bn≧0(n=1,2,・・・)となる数列とし，3次関数
y=x3+3anx2+3bnx+1
のグラフの接線の傾きが0となる接点のx座標のうち小さくない方をcnとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1){an},{bn}がan=n，bn=n2で与えられる数列のとき，{cn}を求めよ．
(2){bn}を初項も公差も0である等差数列とする．このとき，cn=bn(n=1,2,・・・)となるための条件を求めよ．
(3){an},{bn}をそれぞれ公比がr，r2の・・・