「数列」について

　国立 名古屋工業大学 2015年 第2問

2つの関数
f(x)=\frac{2}{2x+3},g(x)=\frac{2x+1}{-x+2}
がある．
(1)関数g(x)の逆関数g^{-1}(x)を求めよ．
(2)合成関数g^{-1}(f(g(x)))を求めよ．
(3)実数cが無理数であるとき，f(c)は無理数であることを証明せよ．
(4)次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ．
a1=g(√2),a_{n+1}=f(an)(n=1,2,3,・・・)
(5)(4)で定められた数列{an}の極限\lim_{n→∞}anを求めよ．

　国立 東北大学 2015年 第1問

次の性質をもつ数列{an}を考える．
\begin{array}{lll}
a1=3&&\
a_{n+1}＞an&\phantom{\frac{[]}{2}}&(n=1,2,3,・・・)\
an2-2ana_{n+1}+a_{n+1}2=3(an+a_{n+1})&\phantom{\frac{[]}{2}}&(n=1,2,3,・・・)
\end{array}
(1)n=1,2,3,・・・に対し，an+a_{n+2}をa_{n+1}を用いて表せ．
(2)bn=a_{n+1}-an(n=1,2,3,・・・)により定まる数列{bn}の一般項を求めよ．
(3)数列{an}の一般項を求めよ．

　国立 新潟大学 2015年 第4問

数列{an}を次の条件(i)および(ii)をみたすように定める．
(i)a1=0，a2=3
(ii)3以上の自然数nに対して，第(n-1)項a_{n-1}の値が初項a1から第(n-2)項a_{n-2}までのどの項の値とも等しくないときはan=a_{n-1}-1であり，第(n-1)項a_{n-1}の値が初項a1から第(n-2)項a_{n-2}までのどれかの項の値と等しいときはan=a_{n-1}+6である．
次の問いに答えよ．
(1)数列{an}の第3項から第10項までの・・・

　国立 新潟大学 2015年 第4問

数列{an}を次の条件(i)および(ii)をみたすように定める．
(i)a1=0，a2=3
(ii)3以上の自然数nに対して，第(n-1)項a_{n-1}の値が初項a1から第(n-2)項a_{n-2}までのどの項の値とも等しくないときはan=a_{n-1}-1であり，第(n-1)項a_{n-1}の値が初項a1から第(n-2)項a_{n-2}までのどれかの項の値と等しいときはan=a_{n-1}+6である．
次の問いに答えよ．
(1)数列{an}の第3項から第10項までの・・・

　国立 東京工業大学 2015年 第1問

数列{an}を
a1=5,a_{n+1}=\frac{4an-9}{an-2}(n=1,2,3,・・・)
で定める．また数列{bn}を
bn=\frac{a1+2a2+・・・+nan}{1+2+・・・+n}(n=1,2,3,・・・)
と定める．
(1)数列{an}の一般項を求めよ．
(2)すべてのnに対して，不等式bn≦3+\frac{4}{n+1}が成り立つことを示せ．
(3)極限値\lim_{n→∞}bnを求めよ．

　国立 埼玉大学 2015年 第1問

cは正の整数とする．数列a1,a2,a3,・・・はa1=1，a2=cであり，さらに漸化式
a_{n+2}=a_{n+1}+an(n=1,2,3,・・・)
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)n=1,2,3,・・・に対して，anは正の整数であり，かつ，anとa_{n+1}の最大公約数は1であることを示せ．
(2){(-1)}n(a_{n+1}2-a_{n+2}an)はnによらず一定の値であることを示せ．
(3)c≧2とし，bn=\frac{a_{n+1}}{an}とおくと
{\begin{array}{ll}
b_{n+1}＞bn&・・・

　国立 埼玉大学 2015年 第1問

cは実数とする．数列a1,a2,a3,・・・はa1=1，a2=cであり，さらに漸化式
a_{n+2}=a_{n+1}+an(n=1,2,3,・・・)
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)a3={a2}2が成り立つようなcの値を求めよ．
(2)cが(1)で求めた値のとき，数列a1,a2,a3,・・・が等比数列であることを数学的帰納法を用いて示せ．
(3)(1)で求めたcの値のうち，\lim_{n→∞}an=0となるものを求めよ．
(4)cが(3)で求めた値のとき，Σ_{・・・

　国立 静岡大学 2015年 第4問

iを虚数単位，rを1より大きい実数とし，w=r(cosπ/24+isinπ/24)とおく．また，数列{zn}を次の式で定める．
z1=w,z_{n+1}=znw^{n+2}(n=1,2,3,・・・)
このとき，次の問いに答えよ．
(1)z2をrを用いて表せ．
(2)znの偏角の1つをnを用いて表せ．
(3)複素数平面で原点をO，znで表される点をPnとする．7≦n≦48のとき，△PnOP_{n+1}が\a・・・

　国立 静岡大学 2015年 第4問

iを虚数単位，rを1より大きい実数とし，w=r(cosπ/24+isinπ/24)とおく．また，数列{zn}を次の式で定める．
z1=w,z_{n+1}=znw^{n+2}(n=1,2,3,・・・)
このとき，次の問いに答えよ．
(1)z2をrを用いて表せ．
(2)znの偏角の1つをnを用いて表せ．
(3)複素数平面で原点をO，znで表される点をPnとする．7≦n≦48のとき，△PnOP_{n+1}が\a・・・

　国立 静岡大学 2015年 第1問

次の条件によって定められる数列{an}，{bn}がある．
a1=1/2,3a_{n+1}=an-2a_{n+1}an(n=1,2,3,・・・)
b1=1,b_{n+1}=bn+\frac{n}{an}(n=1,2,3,・・・)
このとき，次の問いに答えよ．ただし，すべての自然数nについてan＞0である．
(1)cn=\frac{1}{an}とおくとき，c_{n+1}とcnの関係式を求めよ．
(2)数列{an}の一般項を求めよ．
(3)数・・・