「数列」について

　国立 熊本大学 2015年 第4問

rを正の実数とする．数列{an}を
an=∫0^{nπ}e^{-rx}|sinx|dx(n=1,2,3,・・・)
と定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)a_{n+1}-anを求めよ．
(2){an}の一般項を求めよ．
(3)\lim_{n→∞}anをrを用いて表せ．
(4)(3)で求めたrの式をf(r)とおく．\lim_{r→+0}rf(r)を求めよ．

　国立 熊本大学 2015年 第3問

△ABCにおいて，∠Bと∠Cは鋭角とする．点Aを通り辺BCに直交する直線を引き，辺BCとの交点をX1とし，線分AX1の長さを1とする．また，BX1=1，CX1=8とする．各n=1,2,3,・・・に対して以下の操作を行う．
辺BC上の点Xnを通り辺ACに平行な直線を引き，辺ABとの交点をYnとする．また，点Ynを通り辺BCに平行な直線を引き，辺ACとの・・・

　国立 熊本大学 2015年 第4問

数列{an}を
an=∫0^{nπ}e^{-x}|sinx|dx(n=1,2,3,・・・)
と定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)a_{n+1}-anを求めよ．
(2){an}の一般項を求めよ．
(3)\lim_{n→∞}anを求めよ．

　国立 香川大学 2015年 第3問

数列{an}は，
a1=2,a_{n+1}=\frac{2an+2}{an+2}(n=1,2,3,・・・)
で定められているとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)nが自然数のとき，数学的帰納法を用いて√2＜anを示せ．
(2)nが自然数のとき，a_{n+1}＜anを示せ．
(3)nが自然数のとき，数学的帰納法を用いて
an-√2≦\frac{(2-√2)n}{3^{n-1}}
を示せ．

　国立 香川大学 2015年 第3問

数列{an}は，
a1=2,a_{n+1}=\frac{2an+2}{an+2}(n=1,2,3,・・・)
で定められているとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)nが自然数のとき，数学的帰納法を用いて√2＜anを示せ．
(2)nが自然数のとき，a_{n+1}＜anを示せ．
(3)nが自然数のとき，数学的帰納法を用いて
an-√2≦\frac{(2-√2)n}{3^{n-1}}
を示せ．

　国立 大分大学 2015年 第4問

数列{an}の初項から第n項までの和Snが
Sn=n4+6n3+11n2+6n
で表されるとする．
(1)数列{an}の一般項がan=4n(n+1)(n+2)であることを示しなさい．
(2)bn=\frac{1}{an}(n=1,2,3,・・・)によって定まる数列{bn}の初項から第n項までの和Tnをnの式で表しなさい．

　国立 徳島大学 2015年 第2問

数列{an}の初項a1から第n項anまでの和Snが次を満たす．
Sn=1/3(2an+8a_{n-1})(n=2,3,4,・・・)
(1)n≧3のとき，anをa_{n-1}とa_{n-2}の式で表せ．
(2)n≧3のとき，an-2a_{n-1}をa1とa2の式で表せ．
(3)a1=1とする．一般項anを求めよ．

　国立 千葉大学 2015年 第6問

bとcをb2+4c＞0を満たす実数として，xに関する2次方程式x2-bx-c=0の相異なる解をα,βとする．数列{an}を
an=α^{n-1}+β^{n-1}(n=1,2,3,・・・)
により定める．このとき，つぎの問いに答えよ．
(1)数列{an}は漸化式
a_{n+2}=ba_{n+1}+can(n=1,2,3,・・・)
を満たすことを示せ．
(2)数列{an}の項anがすべて整数であるための必要十分条件は，b,cがともに整数であることである．これを証明せよ．

　国立 千葉大学 2015年 第1問

bとcをb2+4c＞0を満たす実数として，xに関する2次方程式x2-bx-c=0の相異なる解をα,βとする．数列{an}を
an=α^{n-1}+β^{n-1}(n=1,2,3,・・・)
により定める．このとき，つぎの問いに答えよ．
(1)数列{an}は漸化式
a_{n+2}=ba_{n+1}+can(n=1,2,3,・・・)
を満たすことを示せ．
(2)数列{an}の項anがすべて整数であるための必要十分条件は，b,cがともに整数であることである．これを証明せよ．

　国立 千葉大学 2015年 第1問

bとcをb2+4c＞0を満たす実数として，xに関する2次方程式x2-bx-c=0の相異なる解をα,βとする．数列{an}を
an=α^{n-1}+β^{n-1}(n=1,2,3,・・・)
により定める．このとき，つぎの問いに答えよ．
(1)数列{an}は漸化式
a_{n+2}=ba_{n+1}+can(n=1,2,3,・・・)
を満たすことを示せ．
(2)数列{an}の項anがすべて整数であるための必要十分条件は，b,cがともに整数であることである．これを証明せよ．