「数列」について

　国立 千葉大学 2015年 第2問

bとcをb2+4c＞0を満たす実数として，xに関する2次方程式x2-bx-c=0の相異なる解をα,βとする．数列{an}を
an=α^{n-1}+β^{n-1}(n=1,2,3,・・・)
により定める．このとき，つぎの問いに答えよ．
(1)数列{an}は漸化式
a_{n+2}=ba_{n+1}+can(n=1,2,3,・・・)
を満たすことを示せ．
(2)数列{an}の項anがすべて整数であるための必要十分条件は，b,cがともに整数であることである．これを証明せよ．

　国立 徳島大学 2015年 第3問

cを実数とする．数列{an}は次を満たす．
a1=1,a_{n+1}=\frac{{an}2+cn-4}{3n}(n=1,2,3,・・・)
(1)a2,a3をcを用いて表せ．
(2)a1+a3≦2a2のとき，不等式an≧3(n=3,4,5,・・・)を示せ．
(3)a1+a3=2a2のとき，極限\lim_{n→∞}anを求めよ．

　国立 弘前大学 2015年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)0≦x≦1/2のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
-x2-x≦log(1-x)≦-x
(2)数列{an}を次によって定める．
\begin{array}{rcl}
a1&=&(1-\frac{1}{2・12})\
a2&=&(1-\frac{1}{2・22})(1-\frac{2}{2・22})\phantom{\frac{[]}{2}}\
&\vdots&\
an&=&(1-\frac{1}{2n2}・・・

　国立 愛媛大学 2015年 第3問

aを実数とし，数列{an}および{bn}を
\begin{array}{ll}
a1=a,&a_{n+1}={\begin{array}{ll}
an+1&(n　が奇数のとき　)\
2an&(n　が偶数のとき　)
\end{array}.\
b1=a,&b_{n+1}={\begin{array}{ll}
2bn&(n　が奇数のとき　)\
bn+1&(n　が偶数のとき　)
\end{array}.\phantom{\frac{\frac{[]^{[]}}{2}}{2}}
\end{array}
で定める．
(1)a2,a3,a4，およびb2,b3,b4を求めよ．
(2)数列{cn}・・・

　国立 愛媛大学 2015年 第2問

aを実数とし，数列{an}および{bn}を
\begin{array}{ll}
a1=a,&a_{n+1}={\begin{array}{ll}
an+1&(n　が奇数のとき　)\
2an&(n　が偶数のとき　)
\end{array}.\
b1=a,&b_{n+1}={\begin{array}{ll}
2bn&(n　が奇数のとき　)\
bn+1&(n　が偶数のとき　)
\end{array}.\phantom{\frac{\frac{[]^{[]}}{2}}{2}}
\end{array}
で定める．
(1)a2,a3,a4，およびb2,b3,b4を求めよ．
(2)数列{cn}・・・

　国立 佐賀大学 2015年 第1問

等差数列{an}は
a1=1/6,Σ_{k=11}^{40}ak=250
を満たすとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)数列{an}の一般項を求めよ．
(2)an≦10となるnの最大値Nを求めよ．
(3)(2)で求めた値Nに対して，和Σ_{k=1}Nakを求めよ．

　国立 東京海洋大学 2015年 第4問

座標平面上の曲線y=x2(1-x)をCとし，直線y=-xをℓとする．数列{an}(n=1,2,3,・・・)を次のように定める．a1=2/5とし，x=an(n=1,2,3,・・・)におけるCの接線とℓの交点のx座標をa_{n+1}とする．このとき次の問に答えよ．
(1)nを自然数とするとき，a_{n+1}をanで表せ．
(2)nを自然数とするとき，0＜a_{n+1}＜{an}2を示せ．

　国立 富山大学 2015年 第2問

数列{an}を
{\begin{array}{l}
a1=2√2,\
an＞0,{a1}^{1/n}{a2}^{1/n}・・・{a_{n-1}}^{1/n}{an}^{2/n}=8(n≧2)
\end{array}.
で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)bn=log2anとおくとき，数列{bn}の一般項を求めよ．
(2)cn=a1a2・・・anとおくとき，数列{cn}の一般項を求めよ．
(3){10}^{k}≦c_{11}＜{10}^{k+1}となる整数kを求めよ．ただし，log_{10}2=0.3010とする．
\en・・・

　国立 富山大学 2015年 第3問

数列{an}を
{\begin{array}{l}
a1=2√2,\
an＞0,{a1}^{1/n}{a2}^{1/n}・・・{a_{n-1}}^{1/n}{an}^{2/n}=8(n≧2)
\end{array}.
で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)bn=log2anとおくとき，数列{bn}の一般項を求めよ．
(2)cn=a1a2・・・anとおくとき，数列{cn}の一般項を求めよ．
(3){10}^{k}≦c_{11}＜{10}^{k+1}となる整数kを求めよ．ただし，log_{10}2=0.3010とする．
\en・・・

　国立 群馬大学 2015年 第2問

数列{an}，{bn}，{cn}，{dn}は，初項がそれぞれa1=a，b1=b，c1=c，d1=dで与えられ，漸化式
a_{n+1}=2an+bn,b_{n+1}=an+2bn,c_{n+1}=2cn+dn,d_{n+1}=cn+2dn
を満たす．ただし，a,b,c,dはc/a＜d/bを満たす正の数とする．
(1)c/a＜\frac{c+d}{a+b}＜d/bが成り立つことを証明せよ．
(2)すべての自然数nについて\frac{cn}{an}＜\frac{dn}{bn}が成り立つことを，・・・