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bとcをb2+4c>0を満たす実数として,xに関する2次方程式x2-bx-c=0の相異なる解をα,βとする.数列{an}を
an=α^{n-1}+β^{n-1}(n=1,2,3,・・・)
により定める.このとき,つぎの問いに答えよ.
(1)数列{an}は漸化式
a_{n+2}=ba_{n+1}+can(n=1,2,3,・・・)
を満たすことを示せ.
(2)数列{an}の項anがすべて整数であるための必要十分条件は,b,cがともに整数であることである.これを証明せよ.
国立 徳島大学 2015年 第3問cを実数とする.数列{an}は次を満たす.
a1=1,a_{n+1}=\frac{{an}2+cn-4}{3n}(n=1,2,3,・・・)
(1)a2,a3をcを用いて表せ.
(2)a1+a3≦2a2のとき,不等式an≧3(n=3,4,5,・・・)を示せ.
(3)a1+a3=2a2のとき,極限\lim_{n→∞}anを求めよ.
国立 弘前大学 2015年 第3問次の問いに答えよ.
(1)0≦x≦1/2のとき,次の不等式が成り立つことを示せ.
-x2-x≦log(1-x)≦-x
(2)数列{an}を次によって定める.
\begin{array}{rcl}
a1&=&(1-\frac{1}{2・12})\
a2&=&(1-\frac{1}{2・22})(1-\frac{2}{2・22})\phantom{\frac{[]}{2}}\
&\vdots&\
an&=&(1-\frac{1}{2n2}・・・
国立 愛媛大学 2015年 第3問aを実数とし,数列{an}および{bn}を
\begin{array}{ll}
a1=a,&a_{n+1}={\begin{array}{ll}
an+1&(n が奇数のとき )\
2an&(n が偶数のとき )
\end{array}.\
b1=a,&b_{n+1}={\begin{array}{ll}
2bn&(n が奇数のとき )\
bn+1&(n が偶数のとき )
\end{array}.\phantom{\frac{\frac{[]^{[]}}{2}}{2}}
\end{array}
で定める.
(1)a2,a3,a4,およびb2,b3,b4を求めよ.
(2)数列{cn}・・・
国立 愛媛大学 2015年 第2問aを実数とし,数列{an}および{bn}を
\begin{array}{ll}
a1=a,&a_{n+1}={\begin{array}{ll}
an+1&(n が奇数のとき )\
2an&(n が偶数のとき )
\end{array}.\
b1=a,&b_{n+1}={\begin{array}{ll}
2bn&(n が奇数のとき )\
bn+1&(n が偶数のとき )
\end{array}.\phantom{\frac{\frac{[]^{[]}}{2}}{2}}
\end{array}
で定める.
(1)a2,a3,a4,およびb2,b3,b4を求めよ.
(2)数列{cn}・・・
国立 佐賀大学 2015年 第1問等差数列{an}は
a1=1/6,Σ_{k=11}^{40}ak=250
を満たすとする.このとき,次の問に答えよ.
(1)数列{an}の一般項を求めよ.
(2)an≦10となるnの最大値Nを求めよ.
(3)(2)で求めた値Nに対して,和Σ_{k=1}Nakを求めよ.
国立 東京海洋大学 2015年 第4問座標平面上の曲線y=x2(1-x)をCとし,直線y=-xをℓとする.数列{an}(n=1,2,3,・・・)を次のように定める.a1=2/5とし,x=an(n=1,2,3,・・・)におけるCの接線とℓの交点のx座標をa_{n+1}とする.このとき次の問に答えよ.
(1)nを自然数とするとき,a_{n+1}をanで表せ.
(2)nを自然数とするとき,0<a_{n+1}<{an}2を示せ.
国立 富山大学 2015年 第2問数列{an}を
{\begin{array}{l}
a1=2√2,\
an>0,{a1}^{1/n}{a2}^{1/n}・・・{a_{n-1}}^{1/n}{an}^{2/n}=8(n≧2)
\end{array}.
で定めるとき,次の問いに答えよ.
(1)bn=log2anとおくとき,数列{bn}の一般項を求めよ.
(2)cn=a1a2・・・anとおくとき,数列{cn}の一般項を求めよ.
(3){10}^{k}≦c_{11}<{10}^{k+1}となる整数kを求めよ.ただし,log_{10}2=0.3010とする.
\en・・・
国立 富山大学 2015年 第3問数列{an}を
{\begin{array}{l}
a1=2√2,\
an>0,{a1}^{1/n}{a2}^{1/n}・・・{a_{n-1}}^{1/n}{an}^{2/n}=8(n≧2)
\end{array}.
で定めるとき,次の問いに答えよ.
(1)bn=log2anとおくとき,数列{bn}の一般項を求めよ.
(2)cn=a1a2・・・anとおくとき,数列{cn}の一般項を求めよ.
(3){10}^{k}≦c_{11}<{10}^{k+1}となる整数kを求めよ.ただし,log_{10}2=0.3010とする.
\en・・・
国立 群馬大学 2015年 第2問数列{an},{bn},{cn},{dn}は,初項がそれぞれa1=a,b1=b,c1=c,d1=dで与えられ,漸化式
a_{n+1}=2an+bn,b_{n+1}=an+2bn,c_{n+1}=2cn+dn,d_{n+1}=cn+2dn
を満たす.ただし,a,b,c,dはc/a<d/bを満たす正の数とする.
(1)c/a<\frac{c+d}{a+b}<d/bが成り立つことを証明せよ.
(2)すべての自然数nについて\frac{cn}{an}<\frac{dn}{bn}が成り立つことを,・・・