タグ「数列」の検索結果
（55ページ目：全617問中541問～550問を表示）
数列{an}がa1=1,a_{n+1}=1/2(an+\frac{3}{an})(n=1,2,3,・・・)で定められるとき，次の問いに答えよ．
(1)0＜a2-√3＜1/2を示せ．
(2)nが2以上の自然数であるとき，不等式0＜an-√3＜(1/2)^{n-1}を数学的帰納法によって証明せよ．
(3)数列{an}の極限値を求めよ．
国立 熊本大学 2010年 第3問関数f(x)=∫x^{π/4-x}log4(1+tant)dt(0≦x≦π/8)について，以下の問いに答えよ．
(1)f(x)の導関数f´(x)を求めよ．
(2)f(0)の値を求めよ．
(3)条件a1=f(0),a_{n+1}=f(an)(n=1,2,3,・・・)によって定まる数列{an}の一般項anを求めよ．
国立 佐賀大学 2010年 第1問数列{an}が
a1=2,a_{n+1}=2an+2(n=1,2,3,・・・)
で定義されるとき，次の問いに答えよ．
(1)すべての自然数nに対してa_{n+1}+b=2(an+b)が成り立つような定数bを求めよ．
(2)一般項anを求めよ．
(3)\frac{a_{2n}}{an}≧10^{25}+1をみたす最小の自然数nを求めよ．ただし，log_{10}2=0.3010とする．
国立 熊本大学 2010年 第4問関数f(x)=∫x^{π/4-x}log4(1+tant)dt(0≦x≦π/8)について，以下の問いに答えよ．
(1)f(x)の導関数f´(x)を求めよ．
(2)f(π/8)およびf(0)の値を求めよ．
(3)条件a1=f(0),a_{n+1}=f(an)(n=1,2,3,・・・)によって定まる数列{an}の一般項anを求めよ．
国立 名古屋工業大学 2010年 第2問定数a，関数f(x)，および数列{xn}を次のように定める．
\begin{eqnarray}
&&1＜a＜2,f(x)=1/2(3x2-x3)\nonumber\\
&&x1=a,x_{n+1}=f(xn)(n=1,2,3,・・・)\nonumber
\end{eqnarray}
(1)関数f(x)の増減を調べよ．
(2)すべての自然数nに対して1＜xn＜2を示せ．
(3)すべての自然数nに対してx_{n+1}＞xnを示せ．
(4)次の不等式を満たすnに無関係な定数b(0＜b＜1)があることを示せ．
2-x_{n+1}≦b(2-xn)(n=1,2,3,・・・)
(5)・・・
国立 大分大学 2010年 第1問等比数列3,6,12,・・・を{an}とし，この数列の第n項から第2n-1項までの和をTnとする．
(1)数列{an}の一般項を求めなさい．
(2)Tnを求めなさい．
(3)Σ_{k=1}nTkを求めなさい．
国立 大分大学 2010年 第1問等比数列3,6,12,・・・を{an}とし，この数列の第n項から第2n-1項までの和をTnとする．
(1)数列{an}の一般項を求めなさい．
(2)Tnを求めなさい．
(3)Σ_{k=1}nTkを求めなさい．
国立 福井大学 2010年 第3問kを正の整数とし，a1=k,a_{n+1}=2an+1(n=1,2,3,・・・)によって定められる数列{an}を考える．以下の問いに答えよ．
(1)すべてのnに対して，a_{n+4}-anは15で割り切れることを示せ．
(2)a_{2010}が15の倍数となる最小のkを求めよ．
国立 長崎大学 2010年 第5問a,bをa＞b＞0を満たす定数とし，
{
\begin{array}{l}
a1=a,a_{n+1}=an2+bn2(n=1,2,3,・・・)\\
b1=b,b_{n+1}=2anbn(n=1,2,3,・・・)
\end{array}
.
で定義される数列{an},{bn}を考える．次の問いに答えよ．
(1)数列{cn}をcn=an+bn(n=1,2,3,・・・)により定義するとき，その一般項cnをa,bを用いて表せ．
(2)数列{an},{bn}の一般項an,bnをa,bを用いて表せ．
(3)極限値\lim_{n・・・
国立 愛媛大学 2010年 第6問2つの数列{an},{bn}は，すべての自然数nについて
a_{n+1}=\frac{an}{1-bn^{2}},b_{n+1}=a_{n+1}bn
をみたしているとする．
(1)初項がa1=b1=1/2であるとする．
\mon[(i)]a2,b2,a3,b3を求めよ．
\mon[(ii)]an,bnを表すnの式を推定し，それらの推定が正しいことを数学的帰納法によって証明せよ．
(2)初項がa1=\frac{1}{2010},b1=\frac{2009}{2010}であるとする．
\・・・
