「数列」について

　国立 防衛大学校 2010年 第4問

数列{an}の初項から第n項までの和をSnとする．
Sn=1-(2n2+n-1)an(n≧1)
が成り立つとき，次の問に答えよ．
(1)n≧2のとき，anをa_{n-1}とnを用いて表せ．
(2)anをnを用いて表せ．
(3)Σ_{n=1}^{20}\frac{1}{an}を求めよ．

　国立 茨城大学 2010年 第1問

以下の各問に答えよ．
(1)nを3以上の自然数とする．整式xnをx2-4x+3で割ったときの余りを求めよ．
(2)数列
1,1+3+1,1+3+9+3+1,1+3+9+27+9+3+1,・・・
の第n項から第2n項までの和を求めよ．ただし，nは自然数とする．
(3)微分可能な関数f(x)がf(0)=0かつf´(0)=πを満たすとき，次の極限値を求めよ．
\lim_{θ→0}\frac{f(1-cos2θ)}{θ2}

　国立 電気通信大学 2010年 第3問

数列{a(n)}をa(1)=1およびn≧1に対して
{
\begin{array}{l}
a(2n)=3a(n)\\
a(2n+1)=2a(n)+a(n+1)
\end{array}
.
で定義する．以下の問いに答えよ．
(1)a(2),a(3),a(4),a(5)を求めよ．
次に数列{b(n)}をb(1)=a(1)およびn≧2に対して
b(n)=a(n)-a(n-1)
で定義する．
\mon[(2)]b(2),b(3),b(4),b(5)を求めよ．
\mon[(3)]すべての自然数nに対して，
{
\begin{array}{l}
b(2n)=2b(n)\\
b(2n+1)=b(n+1)
・・・

　国立 茨城大学 2010年 第2問

pを0＜p＜1を満たす有理数の定数とし，関数f(x)をf(x)=|x|pと定める．以下の各問に答えよ．
(1)曲線y=f(x)の概形を描け．
(2)aを0でない実数の定数とするとき，点(a,f(a))における曲線y=f(x)の接線の方程式を求めよ．また，接線とx軸の交点のx座標を求めよ．
(3)数列{an}を次のように定める：a1=1とし，n≧2のときanを点(a_{n-1},f(a_{n-1}))における曲線y=f(x)の接線とx軸との交点のx座標とする．このとき一般項anをnとpを用いて表せ．
(4)(3)で求め・・・

　国立 新潟大学 2010年 第2問

次の条件(ア)～(ウ)を満たす数列{pn}について考える．
\mon[(ア)]p1≦p2≦・・・≦pn≦・・・である．
\mon[(イ)]p1,p2,・・・,pn,・・・はどれも自然数である．
\mon[(ウ)]p1,p2,・・・,pn,・・・の中にはすべての自然数kが現れ，その個数はk以上k+2以下である．
条件(ア)～(ウ)を満たし，すべての自然数kがちょうどk個現れる数列
1,2,2,3,3,3,・・・,\uebrace{k,k,・・・,k}^{k個},・・・
を{an}・・・

　国立 新潟大学 2010年 第3問

次の条件(ア)～(ウ)を満たす数列{pn}について考える．
\mon[(ア)]p1≦p2≦・・・≦pn≦・・・である．
\mon[(イ)]p1,p2,・・・,pn,・・・はどれも自然数である．
\mon[(ウ)]p1,p2,・・・,pn,・・・の中にはすべての自然数kが現れ，その個数はk以上k+2以下である．
条件(ア)～(ウ)を満たし，すべての自然数kがちょうどk個現れる数列
1,2,2,3,3,3,・・・,\uebrace{k,k,・・・,k}^{k個},・・・
を{an}・・・

　国立 徳島大学 2010年 第4問

数列{an}がa1=2,a_{n+1}=\frac{an+2}{an+1}(n=1,2,3,・・・)で定められるとき，次の問いに答えよ．
(1)an＞1を示せ．
(2)|a_{n+1}-√2|≦\frac{√2-1}{2}|an-√2|を示せ．
(3)数列{an}の極限値を求めよ．

　国立 大阪教育大学 2010年 第4問

点Pは数直線上の原点から出発して，「確率pで+1，確率1-pで+2」の移動を繰り返す．ただし0≦p≦1とする．このような移動を繰り返して自然数nの点に到達する確率をpnと表す．次の問に答えよ．
(1)p1,p2,p3をpを用いて表せ．
(2)pn,p_{n+1},p_{n+2}の間の関係式を求めよ．
(3)an=p_{n+1}-pn(n≧1)とおくとき，数列{an}が満たす漸化式を求めよ．
(4)pとnを用いて，一般項pnを表せ．
(5)数列{pn}の極限を調べよ．

　国立 新潟大学 2010年 第3問

行列A=(\begin{array}{cc}
1&-3\\
2&d
\end{array})は，ある実数kに対して等式A2=kAを満たす．このとき，次の問いに答えよ．ただし，E=(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1
\end{array})とする．
(1)kとdの値を求めよ．
(2)実数bとcが等式
(E+bA)(E+2A)=E+cA
を満たすとき，cをbで表せ．
(3)数列{an}が任意の自然数nに対して等式
(E+2A)n=E+anA
を満たすとき，anをnで表せ．

　国立 防衛大学校 2010年 第4問

数列{an}の初項から第n項までの和をSnとする．
Sn=1-(2n2+n-1)an(n≧1)
が成り立つとき，次の問に答えよ．
(1)n≧2のとき，anをa_{n-1}とnを用いて表せ．
(2)anをnを用いて表せ．
(3)Σ_{n=1}^{20}\frac{1}{an}を求めよ．