「数列」について

　公立 京都府立大学 2010年 第4問

Aを成分が実数である2次の正方行列，Eを2次の単位行列とする．数列{an}を漸化式
a1=1,a_{n+1}=an+2n,(n=1,2,・・・)
によって定める．bn=Σ_{k=1}nakとおく．また，座標平面上の点Pn(xn,yn)を
\biggl(\begin{array}{c}
x1\\
y1
\end{array}\biggr)=\biggl(\begin{array}{c}
1\\
1
\end{array}\biggr),\biggl(\begin{array}{c}
x_{n+1}\\
y_{n+1}
\end{array}\biggr)=A^{bn}\biggl(\begin{array}{c}
x1\\
y1
\end{array}\biggr),(n=1,2・・・

　公立 大阪府立大学 2010年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)次の関係式を満たす数列{an}の一般項をそれぞれ求めよ．
\mon[(i)]a1=1/4,a_{n+1}=\frac{an}{3an+1}(n=1,2,3,・・・)
\mon[(ii)]a1=1,a_{n+1}=2an+3n(n=1,2,3,・・・)
(2)行列A=\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array}\biggr)が
A2-97A+2010E=O
を満たすとき，a+d,ad-bcの値の組をすべて求めよ．ただし，E=\biggl(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1・・・

　公立 兵庫県立大学 2010年 第4問

数列{an},{bn}が
\begin{align}
&an=-1+log(1-\frac{1}{1+ne})\nonumber\\
&bn=log(n2-3n+3)-log(1+ne)\nonumber
\end{align}
で定められている．ここでlogは自然対数，eはその底である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)an≧bnを満たす自然数nをすべて求めよ．
(2)極限値\lim_{n→∞}(bn-logn)を求めよ．

　公立 公立はこだて未来大学 2010年 第4問

以下の問いに答えよ．
(1)三角関数の加法定理を用いて，次の等式を証明せよ．
sinα-sinβ=2cos\frac{α+β}{2}sin\frac{α-β}{2}
(2)次の不等式を証明せよ．|sinα-sinβ|≦|α-β|\\
必要ならば，実数θに対して成り立つ不等式|sinθ|≦|θ|を用いてよい．
(3)数列{an}を，次の条件によって定める．
a1=π/2,a_{n+1}=1/2sinan+π/2(n=1,2,3,・・・・

　公立 高知工科大学 2010年 第3問

座標平面において，曲線y=exをCとし，点(1,0)をP1，点P1を通りx軸に垂直な直線とCとの交点をQ1とする．
点Q1におけるCの接線とx軸との交点をP2，点P2を通りx軸に垂直な直線とCとの交点をQ2とする．さらに，点Q2におけるCの接線とx軸との交点をP3，点P3を通りx軸に垂直な直線とCとの交点をQ3とする．
以下同様の操作を繰り返し，x軸上の点列P1,P2,\ten・・・

　公立 岐阜薬科大学 2010年 第1問

次の条件によって定められる数列{pn},{qn},{rn}がある．
p1=2,p_{n+1}=2pn,
q1=3,q_{n+1}=qn+pn,
r1=4,r_{n+1}=2rn-qn+pn(n=1,2,3,・・・)
また，点Cn(pn,qn)を中心とし，半径がrnの円をOnとするとき，次の問いに答えよ．
(1)数列{qn},{rn}の一般項をそれぞれ求めよ．
(2)円Onはx軸と2点で交わることを示せ．
(3)円Onとx軸との交点をAn，Bnとす・・・

　公立 横浜市立大学 2010年 第3問

nは自然数とする．1以上の実数a,dと正の実数b,cを成分とする行列
A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})
に対し，n個の積Anを
An=(\begin{array}{cc}
an&bn\
cn&dn
\end{array}),A1=A
とおく．また，0＜v≦uをみたす実数u,vと正の実数\lambdaに対して，Aは等式
A(\begin{array}{c}
u\
v
\end{array})=\lambda(\begin{array}{c}
u\
v
\end{array})
をみたすとする．以下の問いに答えよ・・・